Birinchi tartibli chiziqli tenglama. Bernulli tenglamasi
va ga chiziqli bo\liq, quyidagi tenglama chiziqli deyiladi. Bu tenglamani yechish uchun, avvalo bir jinsli tenglamani o`zgaruvchilarini ajratib umumiy yechimi topiladi: ёки bu yerda A ixtiyoriy o`zgarmas son. Bir jinsli bo`lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini o`zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usuli bilan topiladi, yani , bunda A(x)- ixtiyoriy differensialluvchi funksiya. A(x) ni topish uchun uni berilgan tenglamaga qo`yamiz va undan ni topamiz. Oxirgi ifodadan bo`ladi, c - ixtiyoriy o`zgarmas.
Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi.
Quyidagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi, almashtirish yordamida chiziqli differensial tenglamaga keltiriladi.
Misollar. 1. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. . Bir jinsli tenglamani o`zgaruvchilarini ajratib, integrallaymiz: Berilgan tenglama yechimini ko`rinishda qidiramiz va tenglamaga kelamiz, undan ni topamiz. Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi quyidagi bo`ladi.
2. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bu Bernulli tenglama bo`lib, almashtirish yordamida chiziqli tenglama hosil bo`ladi. Uni integrallab уmumiy yechimini topamiz.
Almashtirishdan foydalanib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz
Hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar
hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamani:
Hosilaga nisbatan yechish mumkin bo`lsa, hosilaga nisbatan yechib, oldingi o`rganilgan tenglamalar bo`yicha umumiy yechimi topiladi.
Hosilaga nisbatan, kvadraturalarda yechilmasa almashtirish olib
topiladi. Bunda sistemadan y ni chiqariladi.
Xususiy holda Lagranj tenglamasini almashtirib ni differensiallab x va ga nisbatan chiziqli tenglamaga keladi. Uni yechib umumiy yechimini topamiz. Demak,
Berilgan tenglamaning parametrga bog’liq umumiy yechimi bo`ladi.
Quyidagi
tenglama Klero tenglamasi bo`lib, uni yechishda almashtirishni bajarib va ni differensiallab ga ega bo`lamiz. Agar bo`lsa, yoki bo`lib, umumiy yechim bo`ladi.
Misollar. 1. tenglamani umumiy yechimini toping.
Yechish. desak, bo`ladi va uni differensiallasak yoki bo`ladi. Bundan ga qisqartirib, o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga kelamiz.
Uni integrallaymiz: Berilgan tenglamadan foydalansak,
umumiy yechimini topamiz.
2. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Bu Klero tenglamasi bo`lganligi uchun bo`ladi, yani umumiy yechim bo`ladi.
|
