|
Chiziqli bir jinsli bo`lmagan tenglamalar
|
| bet | 8/9 | | Sana | 16.11.2023 | | Hajmi | 1,48 Mb. | | #99443 |
Bog'liq Differensial tenglamalar uslubiy ko\'rsatma(2020-2021)Chiziqli bir jinsli bo`lmagan tenglamalar
Quyidagi chiziqli bir jinsli bo`lmagan tenglamaning umumiy yechimi quyidagi teorema orqali ifodalanadi.
Teorema. Agar - bir jinsli bo`lmagan tenglamaning hususiy yechimi bo`lib, - bir jinsli tenglamaning fundamental yechimlari bo`lsa, u holda bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi, ya’ ni bir jinslimas tenglamaning umumiy yechimi, uning ixtiyoriy xususiy yechimi va bir jinsli tenglamaning umumiy yechimlar yig’indisiga tengdir.
Demak, biz bir jinsli bo`lmagan tenglamaning xususiy yechimini topish usulini qaraymiz. Bu usul o`zgarmasni variatsiyalash usuli deb, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi berilganda qo`llaniladi.
Bizga bir jinsli tenglamaning funamental yechimlar ma’lum bo`lsin. U holda, bir jinsli bo`lmagan tenglamaning umumiy yechimini quyidagicha izlaymiz bunda funksiyalar quyidagi tenglamalar sistemasidan topiladi.
… … … … … … … … … … … … ….
ikkinchi tartibli tenglama uchun sistema
kabi bo`ladi. Bu sistema yechimi quyidagi formuladan topiladi,
va umumiy yechim
ni yozamiz, bu yerda va yechimlarning Vronskiy determinanti.
Misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Chiziqli bir jinsli tenglamalarni yechishda 2-misolda bu tenglamaning fundamental hususiy yechimlar topilgan, yani va hisobotlarga ko`ra .
U holda
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi
Eyler tenglamasi
yoki umumiy ko`rinishdagi tenglamalar Eyler tenglamalari deyiladi. Bunda lar o`zgarmaslar. Bu tenglama yoki almashtirish orqali o`zgarmas koeffitsiyentli tenglamaga keltiriladi va yechiladi.
Misol. tenglamani yeching.
Yechish. Aytilgan almashtirishni bajaramiz:
va unga mos xarakteristik tenglama ikki karrali ildizga ega bo`lib, yechim quyidagidir:
Demak, umumiy yechim quyidagicha bo`ladi:
|
| |
