1.2. Metrik fazoda yakinlashish tushunchasi
Ta’rif. (X, ) metrik fazoda biror {xn} ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Agar n→∞ da bo‘lsa, bu ketma-ketlik X fazoning x elementiga yaqinlashadi deyiladi va yoki
orqali belgilanadi.
Bu x nuqta {xn} ketma-ketlikning limiti, deyiladi.
1-teorema. Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik birgina limitga ega.
Isbot. Darhaqiqat, va bo’lsin. U holda uchburchak aksiomasiga muvofik,
Ammo bu tengsizlikning o’ng tomoni da nolga intiladi, demak, = 0, ya’ni x = u.
2-teorema, masofa x va u elementlarning uzluksiz funksiyasi, ya’ni agar va bo‘lsa, u holda
Isbot. Ixtiyoriy to’rtta x, u, z, i ∈ X nuqta uchun
(1.2.1)
tengsizlik o’rinli ham, uchburchak aksiomasidan foydalanib,
(1.2.2)
tengsizliklarni yozishimiz mumkin. Bundan
Bu tengsizlikda x, u bilan mos ravishda z, u ning urinlarini almashtirilsa,
(1.2.3)
tengsizlik hosil bo‘ladi. (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi. (1) dan (z va u ni mos ravishda xn va un bilan almashtirilsa) teoremaning shartiga ko’ra
Bundan
Quyidagi da’vo o’z-o‘zidan ravshan.
3-teorema. Agar {xn} ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham shu nuqtaga yakanlashadi.
4-teorema. {xn} ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa va x0∈ X aniq bir nuqta bo‘lsa, u holda sonlar to’plami chegaralangan bo‘ladi.
Isbot. yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik bo’lganligi uchun u chegaralangan bo‘ladi; uning yo’qori chegarasini M bilan belgilasak, u holda uchburchak aksiomasiga ko’ra
Endi ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nosini ko’rib chiqamiz.
1- misoldagi fazodan olingan biror ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun biror nomerdan boshlab bu ketma-ketlikning hamma elementlari bir-biriga teng bo’lishi kerak
2. Rn fazodan olingan {xp} ketma-ketlikning x elementga yaqinlashishi uchun xp vektor koordinatalarining mos ravishda x vektor koordinatalariga yaqinlashishi zarur va kifoya. Darhaqiqat, agar Rn da
va, aksincha.
3. {xn(t)} ketma-ketlik C[a,b] fazoning elementlaridan tuzilgan va bo’lsin, ya’ni
Bundan, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday natural son mavjudki, tϵ[a,b] bo’lganda
Demak, t ∈ [a, b] ning hamma qiymatlari uchun n>n0 bo’lganda
Bu esa {xp(t)} ketma-ketlikning x(t) ga tekis yaqinlashishining xuddi o‘zi. Ravshanki, aksincha, {xn(t)} ketma-ketlik [a, b] segmentda x(t) ga tekis yaqinlashsa, u holda {xp, x) 0. Demak, S [a, b] fazoda metrika ma’nosida yaqinlashish ma’lum tekis yaqinlashish tushunchasi bilan ekvivalent ekan.
|
