1.3. Metrik fazolarda uzluksiz aks ettirishlar
va funksionallar
Matematik analizda funksiyalarning uzluksizligidan keng foydalaniladi. Endi biz uzluksizlik tushunchasini ixtiyoriy metrik fazolarning aks ettirishlari uchun kiritamiz.
Ta’rif. X, Y metrik fazolar bo‘lib, X ning D qism to’plamini Y ga aks ettiruvchi T operator berilgan bo’lsin.
Agar D to’plamdagi xy nuqtata yaqinlashuvchi bo’lgan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ushbu
munosabat bajarilsa, u holda T operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar T o‘ziniig aniqlanish soxasining har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u holda T uzluksiz operatordeyiladi.
Biz T aks ettirishning uzluksizlik ta’rifini ketma-ketliklar tilida berdik Bu ta’rifni „ε —" tilida ham berish mumkin. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday > 0 mavjud bo‘lsaki, (x, x0)< shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x uchun
munosabat bajarilsa, T operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ikki ta’rif teng kuchli ekanligi matematik analizda funksiyalar uchun isbotlanishiga o’xshash ko’rsatiladi.
Ta’rif. Xususiy Y = R1 holda uzluksiz operator uzluksiz funksional deyiladi.
Misollar.
Uzluksiz aks ettirishning muhim xususiy holi bo’lgan izometriya tushunchasini kiritamiz. (X, ), (Y,) metrik fazolar bo‘lib, X ni Y ning ustiga akslantiruvchi o’zaro bir qiymatli aks ettirish berilgan bo’lsin. Agar ushbu
munosabat X fazoning ixtiyoriy x1, x2 elementlari uchun bajarilsa izometriya deyiladi.
Bevosita ko’rinib turibdiki, agar izometriya bo‘lsa, u holda ham, ham uzluksiz bo‘ladi.
2. X fazoda va metrikalar berilgan bo’lsin. Agar shunday α, β musbat sonlar topilsaki, ushbu
munosabat hamma x, u ∈ X elementlar uchun o’rinli bo‘lsa, va ekvivalent metrikalar deyiladi.
Endi , ekvivalent metrikalar bo’lsin. (X, ) metrik fazoni (X,) metrik fazoga quyidagicha aks ettiramiz:
Ravshanki, T o’zaro bir qiymatli aks ettirish. Ekvivalentlik ta’rifiga asosan
demak, T—uzluksiz aks ettirish. Ushbu
tengsizlikdan T-1 aks ettirishning uzluksizligi kelib chiqadi.
Agar va metrikalar har-xil bo‘lsa, T aks ettirish izometriya bo’lmaydi.
Agar X ning 1- misolidagi metrik fazo bo‘lsa, u holda X ni ixtiyoriy Y metrik fazoga aks ettiruvchi T operator uzluksiz bo‘ladi. Bu xossa shu metrik fazodagi yaqinlashish ma’nosidan bevosita kelib chiqadi.
|
