4-teorema (Arsela teoremasi). [a,b] segmentda aniqlangan uzluksiz funksiyalardan iborat F to’plam S [a,b] fazoda nisbiy kompakt bo’lishi uchun bu funksiyalar sistemasining tekis chegaralangan hamda tekis darajada uzluksiz bo’lishi zarur va kifoya.
Isbot. Zarurligi. F to’plam S [a,b] fazoda nisbiy kompakt bo’lsin. U holda 2- teoremaga muvofik, ixtiyoriy >0 uchun F da chekli -turni tashkil etuvchi
funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri [a,b] da uzluksiz bo’lganligi sabadli chegaralangandir, ya’ni
Chekli turning ta’rifiga ko’ra F dan olingan har qanday tengsizlik uchun (3) dagi son chekli funksiyalar orasida shunday funksiya topiladiki, uning uchun
tengsizlik o’rinli. Natijada
ya’ni F sistema tekis chegaralangan. So’ngra (3) ketma-ketlikdagi chekli turni tashkil etuvchi funksiyalarning xap biri uzluksizva ularning soni chekli, demak ular [a,b] da tekis uzluksiz; demak, berilgan uchun shunday - son mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozishimiz mumkin: aga bo‘lsa,
Aga bo‘lsa
u holda ixtiyorny ∈ F uchun ning (3) funksiyalar orasidar tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, ushbu munosabatni yoza olamiz:
Shuning bilan F sistemaning tekis darajada uzluksizligi ko’rsatildi, ya’ni teoremaning zarurlik qismi isbot etildi,
Kifoyaligi. F sistema tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo’lsin. Agar ixtiyoriy uchun o’nga nisbatan S [a,b] da chekli -tur mavjud bo‘lsa, bu sistemaning S [a,b] fazoda nisbiy kompaktligi ko’rsatilgan bo‘ladi.
K va quyidagi munosabatlarni qanoatlantiradigan sonlar bo’lsin: (hamma F uchun); agar bo‘lsa, (hamma φ∈ F uchun).
Endi [a, b] segmentni
nuqtalar bilan har birining uzunligi dan kichik bo’lgan p ta qismga bo‘lib, bu nuqtalarning har biridan vertikal to’gri chizik o’tkazamiz. Ordinatalar o’qida
[—K, K].segmentni nuqtalar bilan har birining uzunligi dan kichik m ta qismga bo‘lib, bu nuqtalarning har birida gorizontal to’gri chiziklarni o’tkazamiz. Natijada ushbu to’gri to’rtburchak qismlarga bo’linib, bu qismlarning gorizontal tomonlari va vertikal tomonlari dan kichik bo‘ladi, ya’ni to’gri to’rtburchakda tur to‘zildi. Endi har bir funksiyaga uchlari nuqtada joylashgan siniq funksiyani mos qo’yamiz (agar funkdiyaning grafigi tutashgan kesmalardan iborat bo‘lsa, bu funksiyani sinik deymiz). Tuzilgan turining uchlarida to‘zilishiga ko’ra
tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik va
tengsizliklardan
tengsizlik kelib chiqadi.
segmentda (t) chizikli funksiya bo’lganligi uchun
tengsizlik t ning segmentdagi hamma qiymatlari uchun bajariladi.
Endi [a, b] segmentning ixtiyoriy t nuqtasini olib, chapdan o’nga eng yaqin turgan tk nuqtani olamiz (bu bo’lish nuqtasi). U holda
tengsizlik o’rinlidir. Demak, soni chekli (t) sinik funksiyalar F sistemaga nisbatan chekli turni tashkil etadi, ya’ni F sistema to’la chegaralangan sistemadir.
Endi metrik fazodagi funksionallarning kompaktlik bilan borlik, bo’lgan xossalarini keltiramiz.
Quyidagi teorema matematik analizdan ma’lum bo’lgan Veyershtrass teoremasining umumlashtirilishidir.
|
