Kurs ishining dolzarbligi: O’zbekiston Respublikasida amalga oshirilayotgan ta’lim sohasidagi islohotlar o’ziga xos jamiyat hayotini yangilashda muhim o’rin tutadi.
Yosh avlodga ta’lim berish jarayonini samarali tashkil etish, ularga ilmiy bilimlarni berish uchun zarur shart-sharoitlarni yaratish ustuvor yo’nalishlardan biri sifatida e’tirof etilgan. Bu ta’lim sohasining yuksak darajada rivojlanishinigina kafolati bo’lmay, balki xalq xo’jaligini malakali yetuk kadrlar bilan ta’minlash imkonini ham beradi.
Hozirgi kunda umumta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kursi dasturini mazmuni va uning bayon qilish metodlarining asosiy maqsadi o’quvchilarning shu fan bo’yicha egallaydigan bilimlari sistemasini yanada chuqurroq shakllantirish, ularning bilim olish jarayonini faollashtirishdan iboratdir.
Kurs ishining maqsadi. Metrik fazolar, metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi, metrik fazolarda uzluksiz aks ettirishlar va funksionallar, to’la metrik fazolar va metrik fazoda kompakt to’plamlar haqida o’rganish va ilmiy salohiyatni kuchaytirish.
Kurs ishining vazifalari. Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan iborat:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. O’rta maxsus ta’limning reyting tizimini ko’tarish;
4. O’quvchi yo’l qo’yadigan xatolarni o’rganish va uni tuzatish usullarini izlash;
5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
I bob METRIK FAZOLAR
1.1. Metrik fazolar
Matematik analizning asosiy amallaridan biri limitga o’tish tushunchasidir. Bu amalni to’g’ri chiziq nuqtalaridan iborat to’plamda joriy etishda biz ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasidan doimo foydalanib kelgan edik. Ammo limitga o’tish masalasi kengroq qaraladigan bo‘lsa, asosiy mazmun olingan to’plam elementlarining tabiiy tuzilishida emas, balki uning ikki elementi orasida masofa tushunchasini kirita bilishdadir. Bu mulohaza fransuz matematigi M. Fresheni 1906 yilda metrik fazo tushunchasiga olib keldi.
Ta’rif. Agar biror X to’plamning o‘zini o‘ziga to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi X×X ni R+=[0,∞) to’plamga aks ettiruvchi ρ(x,u) funksiya berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni (metrika aksiomalarini) qanoatlantirsa, X to’plam metrik fazo deyiladi:
1°. ρ(x, u) 0; ρ(x, u)=0 munosabat x = u bo’lgandagina bajariladi;
2°. (x, u) = (u, x) (simmetriklik aksiomasi),
3°. (x, u)(x, z)+(z, u) (uchburchak aksiomasi).
(x, u) funksiya metrika deyiladi. Odatda, metrikali X metrik fazo (X,) bilan belgilanadi.
Misollar. 1.X ixtiyoriy to’plam bo’lsin; ushbu
funksiya metrik fazo aksiomalarini qanoatlantiradi.
Hayotdan bunday metrikaga misol keltiramiz. X to’plam sifatida biror tramvay marshrutining bekatlari to’plamini olamiz. (x, u) orqali x bekatdan u bekatgacha borish uchun to’lanadigan dakni belgidaymiz. U holda
2. p o’lchamli Rn vektor fazoda ikki va
vektor orasidagi masofa ushbu
ko’rinishda kiritilsa, u holda Rn metrik fazoni tashkil etadi. 1° va 2° aksiomalarning bajarilishi o’z-o‘zidan ravshan. Biz bu masofa uchun uchburchak aksiomasini isbotlaymiz. Bu aksiomadagi tengsizlik
elementlar uchun quyidagi ko’rinishga ega bo‘ladi:
Ushbu belgilashlarni kiritamiz:
U holda (1) tengsizlik quyidagi tengsizlikka keltiriladi:
Ushbu ayniyatdan quyidagi Koshi—Bunyakovskiy tengsizligv kelib chiqadi:
Bu tengsizlikdan:
Bundan esa kerak bo’lgan (2) tengsizlik, demak, (1) tengsizlik kelib chiqadi.
7. S[a,b] fazo. [a,b] oralikda aniqlangan uzluksiz xaqiqiy funksiyalar to’plami S [a,b) da metrikani quyidagicha kiritamiz:
Metrika aksiomalarining bajarilishini ko’rsatish qiyin emas. Masalan, uchburchak aksiomasini isbotlayliq Ixtiyoriy nuqta va
funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi:
Bundan
|
