2-teorema. X to’la metrik fazoda joylashgan A to’plamnang nisbiy kompakt bo’lishi, uchun u ning to’la chegaralangan bo’lishi zarur va kifoya.
Isbot. Zarurligi. Nisbiy kompakt A to’plamni to’la chegaralanmagan, ya’ni biror > 0 uchun A da chekli -tur yo’q deb faraz qilayliq U holda A dan olingan ixtiyoriy x1 nuqta uchun shunday x2 nuqta mavjudki, (x1, x2). So’ng shunday x3 nuqta mavjudki, bo‘ladi va hokazo. Bu protsessii davom ettirib, quyidagi tengeizliklarni qanoatlantiradigan {xp} ketma-ketlikni tuzamiz:
(2.2.1)
Ravshanki, bunday ketma-ketlikdan hech qanday yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning nisbiy kompaktligiga zid.
Kifoyaligi. Endi X to’la fazo bo‘lib, A unda to’la chegaralangan to’plam bo’lsin. A ning nisbiy kompaktligini ko’rsatamiz. A ning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy {xp} ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Har bir
uchun A da mos ravishda chekli -turni ko’ramiz:
Markazlari -turni tashkil etuvchi nuqtalarda joylashgan va radiuslari 1 ga teng sharlarni ko’ramiz. Soni chekli bu sharlar A to’plamni to’lasicha qoplaydi. Ulardan kamida bittasi, {xp} ketma-ketlikning cheksiz {x'n] qism ketma-kegligini o‘z ichiga oladi, uni masalan, S1 bilan belgilaylik So’ng markazlari turni tashkil etuvchi nuqtalarda joylashgan va radiuslari 1/2 teng sharlarni ko’ramiz. Bu sharlarning soni chekli bo’lganligi uchun ularning kamida bittasi {x'n} ketma-ketlikning cheksiz [x"p] qism ketma-ketligini o‘z ichiga oladi, uni masalan, S3 bilan belgilaylik, va hokazo. Bu protsessi cheksiz davom ettiramiz. Endi quyidagi
ketma-ketliklarning diagonalida joylashgan elementlardan ushbu ketma-ketlikni tuzamiz:
(2.2.2)
Bu ketma-ketlik fundamental bo‘ladi, chunki uning elementdan boshlab so’nggi hamma elementlari Sn sharda (uning radiusi ga teng) joylashgan bo‘ladi X metrik fazo to’la bo’lganligi uchun (2) ketma-ketliklga ega. Ya’ni A to’plamdan olingan ixtiyoriy xn ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni hosil qildik, demak, A nisbiy kompakt to’plam.
N a t i j a . X to’la metrik fazodati A to’plam kompakt bo’lishi uchun uning yopik va to’la chegaralangan bo’lishi zarur va kifoya.
2- teoremada zarur va kifoya shart berilgan bo‘lsada, undan konkret metrik fazolarda foydalanish oson emas. Maxsus metrik fazolarda joylashgan to’plamlarning nisbiy kompaktligini aniqlash uchun odatda maxsus kompaktlik belgilari izlanadi.
Biz bu masalani S [a, b] fazo uchun o’rganamiz.
S [a,b] fazoda nisbiy kompaktlik belgisi quyidagicha bo‘ladi. Bu belgini ifoda kilish uchun quyidagi ikkk tushunchani keltiramiz.
[a,b] segmentda aniqlangan biror {γ(t)} = F funksiyalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar t ning hamma qiymatlari va F sistemaning hamma elementlari uchun
tengeizlikni qanoatlantiradigan K son mavjud bo‘lsa, funksiyalar sistemasi tekis chegaralangan deyiladi. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday >0 son mavjud bo‘lsaki,
tengeizlik bajarilganda F sistemata tegishli ixtiyoriy γ(t) funksiya uchun
bo‘lsa, F sistema tekis darajada uzluksiz deyiladi.
|
