IІ.BOB. TO’LA METRIK FAZOLAR
2.1. To’la metrik fazolar
Matematik analizning umumiy kursidan ma’lumki, sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun Koshi shartini qanoatlantirishi zarur va kifoya. Bu xossa matematik analizda katta ahamiyatga ega bo‘lib, xaqiqiy sonlar to’plamining „to’laligini" ko’rsatadi.
Endi xaqiqiy sonlar to’plamining bu xossasi har qanday metrik fazo uchun ham o’rinlimi degan savol qo’yish mumkin. Masalani aniqrok ifoda qilish uchun quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. Agar (X,) metrik fazodan olingan (xp) ketma-ketlik Koshi shartini qanoatlantirsa, ya’ni ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday nε natural son mavjud bo‘lib, (xn,xm)< ε tengeizlik n va m sonlarning nε dan katta bo’lgan hamma qiymatlari uchun bajarilsa, u holda {xp} fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Agar X fazoda har qanday fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u fazo to’la deyiladi.
Ravshanki, har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental. Yuqoridagi savolni endi quyidagicha ifoda qilish mumkin: har qanday metrik fazo to’lami? Bu savolga beriladigan javob har doim ijobiy emas.
M i s o l l a r.
1. Hamma ratsional sonlardan iborat X to’plamda masofa (r1, r2)=| r1-r2| formula bilan aniqlansin. Ravshanki, X metrik fazo ammo bu fazo to’la emas, chunki, masalan, ratsional sonlar ketma-ketligi fundamental bo‘lib, shu X fazoda yaqinlashuvchi emas, ya’ni u hech qanday ratsional songa yaqinlashmaydi.
2. [a,b] segmentda aniqlangan hamma uzluksiz haqiqiy funksiyalardan iborat to’plamni olib, unda masofani quyidigicha aniqlaymiz:
Bu metrik fazoni S2[a,b] bilan belgilaymiz. Koshi — Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, bu masofa uchun uchburchak aksiomasining o’rinliligini ko’rsatish qiyin emas. Metrikaning qolgan ikki aksiomasi o’z-o‘zidan ravshan. Demak, bu metrik fazo to’la emas, chunki bu metrikda uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi yana uzluksiz funksiyaga yaqinlashishi shart emas. Konkret misol keltiramiz. Masalan,
ketma-ketlik S2[0, 2] fazoda fundamental. Haqiqatan, ixtiyoriy n, m natural sonlar uchun
Ammo bu ketma-ketlik hech qanday uzluksiz funksiyaga yaqinlashmaydi. Buni isbotlash uchun quyidagi uzlukli funksiyani ko’ramiz:
Ixtiyoriy ∈ S2[0, 2] funksiya uchun, ravshanki,
Demak,
shu bilan birga
Shuning uchun () hech qanday ∈S2[0, 2] uchun nolga intilmaydi.
2. Yuqorida misol sifatida keltirilgan hamma metrik fazolar to’la. Ularning ba’zilarining to’laligini quyida ko’rsatamiz.
3. S [a,b] fazoning to’laligi. Bu fazoda {xn(t)} fundamental ketma-ketlik bo’lsin, ya’ni
2.2 da S [a,b] fazodagi yaqinlashish funksiyalarning tekis yaqinlashishiga ekvivalent ekanligini ko’rsatgan edik.
Har bir berilgan ixtiyoriy t ∈ [a, b] nuqtada ushbu {xn(t)} sonli ketma-ketlik Koshi shartini qanoatlantirgani uchun bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning limitini x0(t) bilan belgilaymiz. {xn(t)} ketma-ketlik x0(t) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun x0(t) funksiya uzluksiz bo‘ladi. Natijada
demak, S [a,b) fazo to’la.
4. l2 fazoning to’laligi. Bu fazodan olingan
ketma-ketlik fundamental bo’lsin. Ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday n0 natural son mavjudki, ular uchun
Bundan, har qanday k uchun
(2.1.2)
ya’ni har bir k uchun {} sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi. Bu ketma-ketlikning limitini ak bilan belgilab, x=(a1, a2, . . .) elementni hosil qilamiz. Agar
munosabatlarning o’rinliligi ko’rsatilsa, l2 fazoning to’laligi isbot etilgan bo‘ladi.
(1) tengsizlikni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
bu erda p — ixtiyoriy natural son. Bundan ixtiyoriy R uchun:
yoki r bilan m ni tayinlab qo’yib, n bo’yicha limitga o’tilsa, ushbu
tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy R uchun o’rinli; Shuning uchun bunda r bo’yicha limitga o’tish mumkin, u holda
Bundan va
munosabatdan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
Demak, x=(a1, a2,…, an,…) ∈ m. So’ngra ixtiyoriy bo’lganligi uchun (2) dan
5. m fazoning to’laligi. {xp} ketma-ketlik fundamental bo’lsin. ∈ m bo’lganligi tufayli shunday {Mp} ketma-ketlik mavjudki, uning uchun < Mp (i=1,2,...) o’rinli va ixtiyoriy >0 uchun shunday n0 natural son mavjudki,
yoki
Bundan
(2.1.3)
munosabatning i ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy i uchun ketma-ketlik n bo’yicha yaqinlashuvchi bo‘ladi; uning limitini ai bilan belgilab,
elementni hosil qilamiz.
Endi ushbu x ∈ m va (xp, x) 0 munosabatlarni isbotlaymiz. ga nisbatan limitga o’tilsa, hamma i lar uchun o’rinli bo’lgan
(2.1.4)
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan
tengsizlikni hamma i lar uchun hosil kilish mumkin, ya’ni x = (a1, a2, . . .) ∈ m munosabat kelib chiqadi. (4) dan
(2.1.4)
Yoki (xn, x), . ixtiyoriy bo’lganligi uchun bundan
munosabat kelib chiqadi. Demak, m—to’la fazo.
Endi metrik fazolarning to’laligiga oid ba’zi xossalarni keltiramiz.
|
