1-teorema. (X, ) to’la metrik fazoda yopik sharlar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, bular uchun quyidagi shartlar bajarilsin:
U holda bu sharlarning umumiy qismi birgina nuqtadan iborat bo‘ladi.
Isbot. sharlarning markazlaridan iborat bo’lgan quyidagi ketma-ketlikni tuzamiz:
(2.1.5)
Teorema shartiga ko’ra ap+r ∈ (r = 1, 2, . . .). Shuning uchun
Demak, (5) ketma-ketlik fundamental. X to’la fazo bo’lganligi uchun bu ketma-ketlik biror a ∈ X elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
So’ngra, ixtiyoriy m yopik sharni olamiz (m —tayin natural son); u holda a ∈ m, chunki nuqtalar ketma-ketligi (5) ning qism ketma-ketligi bo’lgani uchun a ga yaqinlashuvchi, bu ketma-ketlikning har bir elementi m ga kiradi va m yopiq bo’lganligi uchun
Demak,
Endi ga a nuqtadan boshqa yana biror b element ham tegishli bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda, bir tomondan, har qanday p uchun
munosabat o’rinli, ikkinchi tomondan, da bo’lgani uchun , ya’ni a = b.
2-teorema. Agar (X,) metrik fazoda 1-teoremaning shartlarini qanoatlantiradigan har qanday yopik sharlar ketma-ketligi bo’sh bo’lmagan u umiy, qismga ega bo‘lsa, u holda X fazo to’la bo‘ladi.
Isbot. {xp} fundamental ketma-ketlikni olib, nk natural sonni shunday tanlab olamizki, ixtiyoriy r natural son uchun quyidagi tengeizlik o’rinli bo’lsin:
Ushbu sharlarni ko’ramiz. Agar x ∈ bo‘lsa, u holda
ya’ni x ∈ . Demak, . Teorema shartiga ko’ra bu yopik sharlar ularning hammasiga tegishli x0 elementga ega. Agar {xp} ketma-ketlikning x0 ga yaqinlashishi ko’rsatilsa, iboramiz isbot etilgan bo‘ladi. {xp} qism
ketma-ketlik x0 ga yaqinlashadi, chunki
u holda butun {xp} ketma-ketlik ham x0 ga yaqinlashadi, chunki ushbu
tengsizlikning o’ng tomoni p va nk yetarli katta bo’lganda istalgancha kichik kilinishi mumkin.
To’la metrik fazolar nazariyasida quyidagi teorema katta ahamiyatga ega.
3-teorema (Ber teoremasi). (X,) to’la metrik fazoni hadlarining soni sanokli va hech qayerda zich bo’lmagan to’plamlarning yig’indisi ko’rinishida ifodalab bo’lmaydi.
qayerda zich bo’lmagan to’plamlar bo’lsin. S0 radiusi 1 ga teng bo’lgan ixtiyoriy yopik shar bo’lsin. M1 hech qayerda zich emas, xususan S0 da ham zich bo’lmagani uchun radiusi 1/2 dan kichik S1 yopiq shar topiladiki, va M2 to’plam S1 sharda zich bo’lmagani uchun S2 ning ichida shunday shar topiladiki uning radiusi 1/3 dan kichik va va hokazo. SHu tarzda davom etib, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi {Sn} yopik sharlar sistemasini hosil qilamiz:
|
