4-ta’rif. Agar f(x) ko‘phad P ning biror kengaytmasida chiziqli ko‘paytuvchilar ko‘paytmasi shaklida yozilsa, u holda Q normal maydon deyiladi.
1-teorema. Koeffitsientlari P maydonga tegishli f(x) ko’phad uchun Q kengaytma normal kengaytma bo’lsa,u holda f(x)=0 tenglama kvadrat radikallarda yechilishi uchun (Q: P)=2m bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. 1.Zaruriylik sharti. Faraz qilaylik, (1) tenglama (2) kabi tenglamalar zanjiriga keltirilgan bo‘lsin. U holda yuqoridagi kabi ikki hol bo‘lishi mumkin.
a)fi(x) larning barchasi birinchi darajali. Bunday holda birinchi darajali tenglamalarning ildizlarini P ga kiritish bilan bu maydon o‘zgarmaydi, ya‘ni bu holda (Q: P)=2°=1 bo‘lgani uchun Q=P bo‘ladi.
b) fi(x) lar orasida darajasi ikkidan kichik bo‘lmagan ko‘phad mavjud bo‘lsa,
u holda P ning shu P ga nisbatan 2n darajali kengaytmasi hisoblangan P1 kengaytma mavjud bo‘ladi. U holda (Q : P) darajaga (P1: P) daraja bo‘linadi.
Bundan (Q: P)=2m ekanligi kelib chiqadi.
2. Yetarlilik sharti. Endi (Q:P)=2m deb olib, f(x)=0 ni fi(x)=0 kabi tenglamalar zanjiriga kelishini ko‘rsatamiz.
Bunda quyidagi uch hol bo‘ladi:
m=0 .Bunda (Q: P )=1 bo‘lgani uchun fi(x) ko‘phadlarning barchasi birinchi darajali bo‘ladi. O‘z-o‘zidan ma‘lumki, bunday holda fi(x)=0 tenglamalarning ildizlari P maydonga tegishlidir.
m=1 bo‘lganda (Q: P )=2 bo‘lib, f(x) ning normasi, ya‘ni Q maydon P ga koeffitsientlari shu P maydonga tegishli bo‘lgan kvadrat tenglamaning ildizini kiritishdan hosil bo‘ladi. Bunday holda fi(x)=0 zanjirdagi har bir tenglamaning darajasi albatta ikkidan yuqori bo‘lmaydi.
m>1 bo‘lsin. U holda (Q: P)=2m bo‘lib, P ning shu P ga nisbatan ikkinchi darajali kengaytmasi hisoblangan P1 kengaytma mavjud bo‘ladi. Bu kengaytma uchun (Q: P1)=2m-1 bo‘ladi.
Endi P o‘rniga P1 ni olaylik. Unda P1 va Q orasida shunday P2 kengaytma mavjudki, uning uchun (Q: P2)=2m-2 bajariladi, ya‘ni P 2 kengaytma P 1 ga nisbatan ikkinchi darajali bo‘ladi. Bu jarayonni davom ettirib, har bir keyingisi oldingisi uchun ikkinchi darajali bo‘lgan
|
