P P1 P2 Pm=Q
chekli kengaytmalar ketma-ketligiga erishamiz. Natijada f(x)=0 tenglamaning har biri ikkinchi darajali bo‘lgan tenglamalar zanjiriga kelgirilganiga ishonch hosil qilamiz.
Uchinchi darajali tenglamaning kvadrat radikallarda yechilish sharti
Teorema. Ushbu
x3+ax2+bx+c=0 (1)
rastional koeffitsientli uchinchi darajali tenglama kvadrat radikalda yechilishi uchun uning kamida bitta ildizi rastional son bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. 1. Yetarlilik sharti. f(x)=x3+ax2+bx+c ko‘phad d rastional ildizga ega bo‘lsin. U holda uni quyidagicha yozamiz: f(x)=(x — d){x2+mx+n), bunda m,nQ.
x2-d2=0, d
yoki y
munosabatlar o‘rinli bo‘lgani uchun (1) tenglama kvadrat radikalda yechiladi.
2. Zaruriylik sharti. (1) tenglama kvadrat radikalda yechilsin va uning rastional ildizi yo‘q deb faraz qilaylik. Shunday
(2)
kvadrat kengaytmalar zanjiri mavjudki, u holda (1) tenglamaning x1, x2, x3 ildizlaridan kamida bittasi ga tegishli bo‘ladi. Masalan,
x1 (3)
va x1, x2, x3 ildizlardan hech biri ga tegishli emas, ya‘ni
{ x1, x2, x3 } (4)
bo‘lsin deb faraz qilaylik.
maydon maydonning kvadratik kengaytmasi bo‘lgani uchun shunday element mavjudki, natijada
(5) munosabat bajariladi. (3) va (5) ga asosan,
x1=p+q( p,q) (6)
bo‘ladi.
Endi p-qifoda f(x) ko‘phadning ildizi ekanini isbotlaymiz. Haqiqatan, f(p+q)=( p+q)3+a(p+q)2+b(p+q)+c=A+B (7) bunda
A,B va bo‘lgani sababli
f(p+q)= A+B = 0 (9)
tenglikdan
A=B=0 (10)
kelib chiqadi. (7), (8), (9) va A=B=0 ga ko‘ra f(p-q)=A-Btenglik kelib chiqadi. Demak, p-q ham f(x) ning ildizi ekan. x2= p-q bo‘lsin. (6) munosabatga asosan x1—x2 = 2q≠0 bo‘lgani uchun x1 ≠ x2 .
Viyet formulasiga asosan x4 + x2 + x3 = -a. (6) ga asosan x1+x2=2p , x3=-a-2p Bu esa (4) farazga qarama-qarshi. Demak, f(x) ko‘phad rastional ildizga ega ekan.
|
