3-§. Tenglamalarni taqribiy yechish.
P(x)=anxn+…+a0 bo‗lsin, P(x)=0 (1) tenglamani taqribiy yechish deyilganda uning noma‘lum x* ildizi yotgan [a;b] oraliqni oldindan tayinlangan =dan oshmaydigan kattalikda (qisqacha: gacha aniqlikda) topish tushuniladi. [a;b] da yotgan ixtiyoriy c nuqta ildizning taqribiy qiymati sifatida olinishi mumkin: x*±. P(x)ko‗phad grafigi abssissalar o‗qini x* nuqtada kesib o‗tishi tufayli unda P(x*) = 0, nuqtaning ikki tomonida esa ko‗phad qarama- qarshi ishoraga ega bo‗ladi. Bunga qaraganda agar
P (x) ko‗phad [a;b] oraliqning chekka nuqtalarida har xil ishoraga ega bo‗lsa, ya‘ni P (a)P (b) <0 (2) tengsizligi bajarilsa, shu oraliqda (1)tenglama ildizga ega.
Demak, hisoblashlarning 1- qadamida (2) shartdan foydalanib, ildiz yotgan
[a; b] oraliq topiladi. Keyingi qadamlarda biror usul qo‘llanilib, bu oraliq ketmaket kichraytiriladi. Agar biror k- qadamda k=< aniqlikka erishilgan bo'lsa, [ak;bk] oralig‗idagi ixtiyoriy ck son, masalan, ck = (bk+ ak)/2 o‗rta qiymat ildiz uchun qabul qilinadi va hisoblashlar to‗xtatiladi. Tenglamalarni taqribiy yechishning ikkita usuli bilan tanishamiz:
1) kesmani teng ikkiga bo‘lish (dixotomiya) usuli qo‗llanilganda [a; b] oraliq c1, nuqta bilan [a; c1],[c1;b] teng oraliqlarga ajratiladi(1 rasm). Ulardan (2) shart bajariladigani, demak, ildiz mavjud bo‗lgani olinadi. Uni [a1;b1]orqali belgilaymiz. Uning uzunligi Agar 1 ≤ bo‗lsa, masala hal, aks holda [a1;b1] oraliq ikkiga bo‗linadi va hokazo;
1- rasm.
2)endi Jamshid ibn Ma’sud G ‘iyosiddin al-Koshiy (ko’pincha G‘iyosiddin alKoshiy nomi bilan mashhur) (Mirzo Ulug‗bek ilmiy maktabi namoyandalaridan biri, Ulug‗bekning ustozi, Samarqandda ijod etgan, 1430- yilda vafot etgan) ning taqribiy qiymatlarni ildizga ketma-ket yaqinlashtirishlar(iteratsiya)usulini keltiramiz. Al-Koshiy x3-kx+m = 0, k≠0 ko‗rinishdagi tenglamani yechish uchun uni teng kuchli
ko‗rinishga keltiradi. (qoldiqda r1,), ya‘ni m=kq1+r1,bo‗lganidan, (3) tenglik
yoki (4)
ko‗rinishga keladi. 1- yaqinlashish uchun x1=q1 qabul qilinadi. (4) tenglikning o‗ng qismiga x=x1, qo‗yiladi, (qoldiqda r2) bo‗yicha r1=kq2+r2-x13
topiladi. Natijada
(5)
Ikkinchi yaqinlashish: x2=q1+q2 va hokazo. Amalda biz r qoldiqlarni hisoblab o‗tirmay, Al-Koshiy usulining ushbu nisbatan sodda modifikatsiyasidan (ko‗rinishi o‗zgartirilgan rekurrent formuladan) foydalanamiz:
, xn+1=xn+qn (6)
Bu formulalar bo‗yicha topilgan har qaysi xn yaqinlashish xatosi (ya‘ni uning izlanayotgan ildizdan farqi) пn-xn-1=qn bo‗ladi va q1>q2>...>qn> … bo‗lganidan xato qiymati keyingi qadamlarda kamayib boradi.
|
