4-misol. x3-6x2+11x-6=0 tenglama yechilsin.
Yechish. 6 ning bo‘luvchilari ± 1; ± 2; ± 3; ± 6 ni yuqoridagidek tenglamaga qo‘yib tekshiramiz. x=1 tenglamani qanoatlantiradi. Bezu teoremasining xossasiga asosan:
x3-6x2+11x-6=(x-1)(x2-5x+6)
Endi, x2-5x+6=0 tenglamadan x
5-misol. x4+4x3+8x2+16x+16=0 tenglama yechilsin.
Yechish. ± 1; ± 2; ±4;… larni tenglamaga qo‘yib tekshirib ko‘ramiz, x=-2 uni qanoatlantiradi. Bezu teoremasining 2- natijasiga asosan:
x4+4x3+8x2+16x+16=(x+2)(x3+2x2+4x+8)
Demak, qolgan ildizlarni topish uchun x3+2x2+4x+8= 0 tenglama hosil bo‘ldi. Buning chap qismini gruppalab, ko‘paytuvchilarga ajratib yechish qulay, ya‘ni x3+2x2+4x+8=x2(x+2)+4(x+2)= (x+2)(x2+4)=0. Bundan x+2=0 va x2+4=0.Demak, x1=-2,va x2,3=.
6-misol. x5-3x4+4x3-4x2+3x-1=0 tenglama yechilsin.
Yechish. x5-3x4+4x3-4x2+3x-1=x5-x4-2x4+4x3-4x2+x+2x-1=x4(x-1)-
2x(x3-1)+4x2(x-1)+(x-1)= (x-1)(x4-2x3-2x2-2x+4x2+1)=0 Bundan:
x-1=0 va x4-2x3+2x2-2x+1=0. x4-2x3+2x2-2x+1= x4-x3-x3+2x22x+1=x3(x-1)-(x3-1)+2x(x-1)= (x-1)(x3-x2+x-1)= (x-1) (x-1) (x2+1)=0.
Bundan: x-1=0, x-1=0, x2+1=0.
Demak, x1,2,3=1, x4,5=
7- misol. x4-9x2+20 = 0 tenglamani yeching.
Bu bikvadrat tenglama deb ataluvchi ax4+bx2+c=0 (a 0) tenglamaning xususiy holidir. Bunday ko'rinishdagi tenglamalarni yechish uchun x2=y almashtirishni bajarish kerak. Bu almashtirish berilgan tenglamani y2 -9y + 20 = 0 kvadrat tenglamaga olib keladi.Biz berilgan tenglamani ko'paytuvchilarga ajratish usuli bilan yechamiz.
Yechish. Tenglamaning chap qismini ko'paytuvchilarga ajratamiz:
x4 - 9x2 + 20 =(x4 - 4x2)-(5x2 - 20)= x2 (x2 - 4)-5(x2 - 4)= (x2 - 4)(x2 - 5)= =(x - 2)(x + 2)(x - 5 )(x + 5 ) = 0.
Endi x-2 = 0, x + 2 = 0, x- 5 = 0, x + 5 =0 tenglamalarni yechib, berilgan tenglama yechimlarini topamiz:
Javob: {-2; 2; - 5 ; 5 }.
8- misol. x4-4x3-10x2+37x-14=0 tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning chap tomonida 4-darajali ko'phad turibdi. Uni kvadrat uchhadlar ko'paytmasi shaklida tasvirlashga harakat qilamiz:
x4 - 4x2-10x2+37x -14 = (x2 + px + q(x2 + bx + c).
Chap va o'ng tomonlarda turgan ko'phadlarning mos koeffitsientlarini tenglashtiramiz:
Bu sistemaning biror butun qiymatli yechimini topamiz. qc = -14dan q va c lar 14 ning bo'luvchilari ekanini ko'rish qiyin emas. Demak, ular uchun ±1, ±2,
±7, ±14 larni sinab ko'rish kerak.
Agar q = 1 bo'lsa, c = 14 bo'ladi. Ikkinchi va uchinchi tenglamalar
pb 3, sistemani beradi.Bu sistemadan b uchun
14pb 37
b2 -37b - 42 = 0 tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglama esa yechimga ega emas.
Shuning uchun, q = 1 da sistema butun yechimga ega emas.
Agar q = 2 bo'lsa, c=-7 ga ega bo'lamiz. Bu holda sistema q = 2, c = -7, b= 1, p = -5 lardan tuzilgan butun yechimga ega bo'ladi (tekshirib ko'ring).
Shunday qilib, x4 - 4x3 - 10x2 + 37x – 14= (x2 -5x + 2)(x2 +x-7).
Demak, berilgan tenglama x2 -5x + 2 = 0 va x2+ x-7=0 tenglamalarga ajraladi. Bu tenglamalarni yechib, berilgan tenglamaning ham yechimlari bo'ladigan
1 29
, 2 sonlarni topamiz.
misol. (x2 + x + 4)2 + 3x(x2 + x + 4) + 2x2 =0 tenglamani yeching.
Yechish. Chap tomonni y= x2 + x + 4 ga nisbatan kvadrat uchhad sifatida qarab, ko'paytuvchilarga ajratamiz: y2 + 3xy + 2x2 =(y + x)(y + 2x).
Bundan (x2 +2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 0 tenglama hosil bo'ladi. Oxirgi tenglama yechimga ega emas. Demak, berilgan tenglama ham yechimga ega emas.
misol. (x2-3x+l)(x2+3x+2)(x2-9x+20)=-30 tenglamani yeching. Yechish. (x2+3x+2)(x2-9x+20) = (x + l)(x + 2) (x - 4)(x -5 ) =
= [(x + l)(x - 4)] [(x + 2)(x - 5)] = (x2 -3x - 4) • (x2 -3x- 10) bo'lgani uchun berilgan tenglamani quyidagicha yozib olish mumkin:
(x2 -3x + l)(x2 - 3x - 4)(x2 - 3x - 10) = -30.
Bu tenglamada y = x2 - 3x almashtirish orqali yangi o'zgaruvchi y ni kiritamiz:
(y + l)(y-4)(y-10) = -30,
Bu tenglamadan y1 = 5, y2 = 4 + 30, y3 = 4 - 30 larni topib, quyidagi uchta kvadrat tenglamaga ega bo'lamiz:
x2-3x = 5; x2-3x=4 + 30; x2 –3x=4- 30.
Bu tenglamalarni yechsak, berilgan tenglamaning barcha ildizlari hosil bo'ladi:
; 3 254 30 ; 3 254 30 .
2 2
miso1. x4 - 2x2 -x + 2-= 0 tenglamani yeching.
Yechish. 2 = a deb, x4-2ax2-x+a2-a=0 tenglamani hosil qilamiz. Bu
tenglamani a ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida qarab, uning a = x2-x, a = x2 + x + 1 ildizlarini topamiz. a =2 bo'lgani uchun quyidagi tenglamalarga ega bo'lamiz: x2-x =2 ; x2 + x + 1 =2 .
Bu tenglamalar berilgan tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash imkonini beradi:
x1,2=1 14 2 ; x3,4 1 4 23
2 2
4x 5x 3
miso1. x2 x3 x2 5x32 tenglamani yeching.
Yechish. x=0 soni tenglamaning yechimi emas. Shu sababli berilgan tenglama quyidagi tenglamaga teng kuchli:
4 5 3 3 3 2. x 1 x 5 x x
y = x + 3 almashtirish olsak, 4 5 3 tenglama hosil bo'ladi. Bu x y1 y5 2
tenglama y1 = -5, y2=3 ildizlarga ega bo'lgani uchun berilgan tenglama
3 3
x 5, x 3 x x
tenglamalar majmuasiga teng kuchli. Ularni yechib, berilgan tenglamaning ildizlarini topamiz:
x1,2 5 13 . 2
Yechilgan bu tenglama 2 Axb1xcax2 Bxb2 c D ax
ko'rinishdagi tenglamaning xususiy holidir. Shunday ko'rinishdagi barcha tenglamalar, shuningdek ,
axax22bb1x2xcc axax22b3bx4cc A va axax22bb1x2xcc ax2 Axb3 c , A 0
ko'rinishdagi ( bu yerda ac 0 ) tenglamalar ham 12- misol kabi yechiladi.
Chetki hadlaridan bir xil uzoqlikdagi hadlar koeffitsientlari teng ax4 bx3 cx3 bxa0 ko'rinishdagi tenglama to'rtinchi darajali qaytma tenglama deyiladi. Bunday tenglamalarni yechish uchun uning ikkala qismini x2 ga
1 bo'lib, x + z almashtirishni bajaramiz:
x
2 1 bx 1 c 0, bunda z2 x12 x2 2 12 bo‘lganidan, ax 2 x x x
x
a(z2 2)bzc0 tenglama hosil bo‘ladi . Bu tenglamaning ikkala ildizi
1 1
bo‘yicha x + z1 , x + z2 tenglamalar tuzilib, bu tenglamalar x x
yechiladi. a x 3+ b x 2 + c x + d = 0 , k o ‘ r i n i s h d a g i k u b t e n g l a m a l a r u c h u n q u y i d a g i t e n g l i k l a r o ‗r i n l i 10. x x
Kub tenglamani chap qismini ko‘paytuvchilarga ajratish usuli bilan yechamiz. 1(99-10-6). Ushbu x3-px2-qx+4=0 tenglamaning ildizlaridan biri 1 ga teng.Shu tenglama barcha koeffitsientlarini yig‘indisini toping.
Yechish. f(x)=x3-px2-qx+4 ko‘phadning barcha koeffitsientlari yig‘indisi uning x=1dagi qiymatiga teng.Haqiqatdan,f(1)=113-p12-q1+4=1-p-q+4. x=1 soni f(x) ko‘phadning ildizi bo‘lganligi sababli f(1)=0 bo‘ladi. Demak, 1-p-q+4=0. Javob: 0
2(97-1-12). Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping. x3+2х2-9х-18=0
Yechish. 1-usul. Tenglamani chap qismini ko‘paytuvchilarga ajrataylik. x2(x+2)-9(x+2) = 0, (х+2)(x-3)(x+3)=0, x1=-2, x2 = 3, x3=-3
U holda x1+х2+х3 = -2 bo‘ladi.
Javob. -2
2-usul.Viyet teoremasiga asosan bu tenglamaning ildizlarining yig‘indisi qaramaqarshi ishora bilan olingan х2 oldidagi koeffitsientga teng bo‘ladi. Bundan x2 oldidagi koeffitsientning qarama-qarshisi -2. Javob. -2
Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishini yozishda ko‘pgina murakkab misol va masalalarni yechish usullari haqida to‘xtalib o‘tildi.Jumladan,Qaytma tenglamalar,ya‘ni boshidan o‘rta hadigacha bo‘lgan koeffitsiyentlar o‘rta haddan keyin teskarisiga takrorlanadigan yuqori darajali tenglamalarni qanday usullarda yechish,kvadrat tenglamani ba‘zi xususiy hollariga oid misollarni yechish, uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish,to‘rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish,kvadrat tenglamaga keltiriladigan yuqori darajali tenglamalar, Bezu teoremasi,Gorner sxemasi,ko`phadning ildizlari, algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari, butun koeffitsientli ko‘phadning butun va rastional ildizlari, tenglamalarning radikallarda yechilish tushunchasi va tenglamalarni taqribiy yechish haqida asosiy tushunchalar keltirib o‘tilgan va ularga oid misollardan namunalar yechib ko‘rsatildi.
Хulosa qilib shuni aytish mumkinki, bitiruv malakaviy ishi natijalaridan umumta‘lim maktab matematika o‗qituvchilari, yuqori sinf o‗quvchilari, akademik litsey va kasb - hunar kolleji talabalari keng foydalanishi mumkin hamda ―Matematika o‘qitish metodikasi‖ ta`lim yo‗nalishi talabalari ham ayniqsa, birinchi va ikkinchi kurs talabalariga bu ish ―Qaytma tenglamalarni yechish usullari,yuqori darajali tenglamalarning xususiy hollari:kvadrat tenglama va uning bir necha ko‘rinishlarini yechish yo‘llari, uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish,to‘rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish,kvadrat tenglamaga keltiriladigan yuqori darajali tenglamalar, Bezu teoremasi,Gorner sxemasi,ko`phadning ildizlari,algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari, butun koeffitsientli ko‘phadning butun va ratsional ildizlari, tenglamalarning radikallarda yechilish tushunchasi va tenglamalarni taqribiy yechish haqida kengroq tasavvur qilishga yordam beradi, degan umiddaman.
O‘ylanmanki, ushbu bitiruv malakaviy ishimdan kelajakda ish faoliyatimda albatta foydalanaman.
Foydalanilgan adabiyotlar:
Prezident Islom Karimovning O‗zbekiston Respublikasi mustaqilligining yigirma ikki yilligiga bag‗ishlangan tantanali marosimdagi nutqidan. ―Xalq so‘zi‖,2013,64-son,1-3 betlar.
Karimov I.A.‖O‘zbekiston buyuk kelajak sari‖ asari.T.:‖O‘zbekiston‖ nashriyoti-1999,289-bet.
Karimov I.A. ―Sog‘lom bola yili‖ davlat dasturidan.‖Xalq so‘zi‖,2014,39-son,13 betlar
Usmonov F.R, Isomov R.D, Xo‘jayev B.O:‖Matematikadan qo‘llanma‖ 1-qism Toshkent :―Yangi asr avlodi‖ -2006. 120-131-betlar.
A.U Abduhamidov, H.A.Nasimov,U.M.Nosirov,J.H.Husanov: ―Algebra va analiz asoslari‖ I qism,Akademik litseylar uchun darslik,T.:‖O‘qituvchi‖ Nashriyot-matbaa ijodiy uyi -2008.195-207-betlar.
Nazarov R.N,Toshpo‘latov B.T,Do‘simbetov A.D: ―Algebra va sonlar nazariyasi‖ 2-qism, Toshkent :―O‘qituvchi‖ -1995. 229-233-betlar.
7.To‘laganov T. R: ―Elementar matematika‖ ,Toshkent: ―O‘qituvchi‖ -1997.217226-betlar.
8. Jumaniyozov Q, Muxamedova G: ―Matematikadan misol va masalalar yechish metodikasi‖, Toshkent-2014.82-85-betlar.
9.Muhamedov K: ‖Elementar matematikadan qo‘llanma‖,oliy o‘quv yurtlariga kiruvchilar uchun, Toshkent: ―O‘qituvchi‖ -1976.117-118-betlar.
10. Qurbonov N.X:‖Maxsus yo‘l bilan yechiladigan algebraik masalalar‖, Toshkent:‖O‘zbekiston milliy ensiklopediyasi‖Davlat ilmiy nashriyoti-2008.1112-betlar.
11.DTM.Axborotnoma. Oliy o‘quv yurtlariga kirish uchun test savollari. Toshkent2003.1996-2003 yilgi sonlari.
www.google.uz
www.ziyonet.uz
www.uzedu.uz
www.ziyouz.com
1 Prezident Islom Karimovning O‗zbekiston Respublikasi mustaqilligining yigirma ikki yilligiga bag‗ishlangan tantanali marosimdagi nutqidan. ―Xalq so‘zi‖,2013,64son,1-3-betlar.
2 Karimov I.A.‖O‘zbekiston buyuk kelajak sari‖ asari.T.:‖O‘zbekiston‖ nashriyoti1999,289-bet.
3 Karimov I.A. ―Sog‘lom bola yili‖ davlat dasturidan.‖Xalq so‘zi‖,2014,39-son,1-3 betlar
4 Jumaniyozov Q, Muxamedova G: ―Matematikadan misol va masalalar yechish metodikasi‖, Toshkent-2014.82-85-betlar.
5 To‘laganov T. R: ―Elementar matematika‖ ,Toshkent ―O‘qituvchi‖ -1997.217226-betlar.
6 Usmonov F.R, Isomov R.D, Xo‘jayev B.O:‖Matematikadan qo‘llanma‖ 1-qism Toshkent ―Yangi asr avlodi‖ 2006. 120-131-betlar.
7 Nazarov R.N,Toshpo‘latov B.T,Do‘simbetov A.D: ―Algebra va sonlar nazariyasi‖ 2-qism, Toshkent ―O‘qituvchi‖ -1995. 229-235-betlar.
8 A.U Abduhamidov, H.A.Nasimov,U.M.Nosirov,J.H.Husanov: ―Algebra va analiz asoslari‖ I qism,Akademik litseylar uchun darslik,T.:‖O‘qituvchi‖ Nashriyotmatbaa ijodiy uyi -2008.195-207-betlar.
9 Muhamedov K: ‖Elementar matematikadan qo‘llanma‖,oliy o‘quv yurtlariga kiruvchilar uchun. Toshkent ―O‘qituvchi‖ -1976.117-118-betlar.
10 Qurbonov N.X:‖Maxsus yo‘l bilan yechiladigan algebraik masalalar‖, Toshkent‖O‘zbekiston milliy ensiklopediyasi‖Davlat ilmiy nashriyoti-2008.1112-betlar.
http://fayllar.org
|
