|
Eyler formulasini qatorlar yordamida isbotlash
|
| bet | 13/16 | | Sana | 18.11.2023 | | Hajmi | 466,29 Kb. | | #100822 |
Bog'liq Diplom ishi.Rasulova N.A2.2. Eyler formulasini qatorlar yordamida isbotlash
Bizga ma’lumki, atrofida funksiya Teylor qatoriga yoyilmasi
(1.
Ikkinchi tomondan xususiy holda nuqtadagi Makloren qatoriga yoyilmasi:
(1.2)
Endi , , funksiyalar Makloren qatoriga (1.2) dan foydalanib,
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.3) da ni ga almashtiraylik.
(1.6)
(1.6) ni haqiqiy va mavhum qismga almashtiraylik:
(1.7)
(1.7) ni (1.4) va (1.5)
Eyler formulalarini keltirib chiqardik.
Demak,biz quyidagi teoremani isbotladik.
Teorema. Quyidagi munosabat o’rinli:
(1.8)
2.3. Eyler formulasini ajoyib limitlar yordamida isbotlash
Matematik analiz kursidan bizga ma’lumki,
(1)
formuladan Eyler formulasining
(2)
Quyidagi limitni qaraylik:
(3)
limitni dastlab,trigonometrik ko’rinishga keltirib so’ngra hisoblaymiz:
(4)
(5)
( )=
III bob. Ketma- ketlikka bog’liq tenglamalarni yechish
3.1. Ketma-ketlikka bog’liq algebraik tenglamalarni yechish
Algebra sonlar nazariyasi kursida amaliy mashg’ulotlarni o’qitish jarayonida
trigonometrik va ko’phad ildizlarini topish talab qilinishi nostandart masalalar yechimini talab etadigan amaliy misollarni o’rgatadi. Ushbu misollarda yuqorida ta’kidlab o’tilgan nostandart amaliy misollar radikallar yechishning innovatsion usulini keltiramiz.
Dastlab biz quyidagi umumiy holda algebraik tenglamani
(1)
yechimini qaraylik.
Buning uchun va larni trigonometrik ko’rinishga keltiraylik.
(2)
(3)
Va (3) ga qo’yib, Muavr formulasidan foydalansak,
bu yerda ,
Demak biz n-darajali algebraik tenglamani yechishga olib kelinadi.
,
,
,
,
1. (1)
algebraik tenglamaning ildizini aniqlaylik. Buning uchun quyidagi munosabatdan foydalanaylik:
Agar n-darajali ko’phad bo’lsa, haqiqiy koeffitsiyentli n-darajali ko’phad.
Munosabatning o’rinli ekanligi ravshan ,
(2)
(3)
(2) va (3) lardan foydalanib (1) ni quyidagicha yozish mumkin:
bu yerda ; ,
Bu yerda (1) -darajali tenglamaning o’rniga sodda trigonometrik tenglama yechishga keldik.
; ;
;
Demak, (1) tenglama ta har xil haqiqiy ildizga ega.
Hisoblang:
1.
2.
Buning uchun va kompleks sonlarni trigonometrik ko’rinishga keltirib uni -darajaga ko’taraylik(Muavr-Laplas formulasiga asosan):
(2)
(3)
(4)
(5)
Bu yerda
(6)
(7)
Yuqorida keltirilgan formulalardan foydalanib, (1) va (2) tenglamani keltiramiz:
|
| |
