|
Mundarija kirish I bob. Sonli ketma-ketliklar
|
| bet | 9/16 | | Sana | 18.11.2023 | | Hajmi | 466,29 Kb. | | #100822 |
Bog'liq Diplom ishi.Rasulova N.A2.1.5 - Teorema. Faraz qilaylik, va ketma-ketliklar bitta songa yaqinlashsin va ketma-ketlik
(1.26)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda ketma-ketlik ham xuddi o'sha songa yaqinlashadi.
Isbot. Shartga ko'ra, va ketma-ketliklar limiti a soni bo'lsin. Shunday ekan, (1.26) tengsizlikdan
(1.27)
munosabat kelib chiqadi.
2.1.7 - Tasdiqqa asosan, va ketma-ketliklar cheksiz kichik bo'ladi. Demak, (1.27) va 1.6 - Tasdiqqa ko'ra, ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi, ya'ni
Eslatma. Isbotlangan teorema yuqorida keltirilgan ¾ikki militsioner prinsipi¿ ning yana bir varianti: agar qochuvchi (ya'ni zn) hamma vaqt biror a punktga intiluvchi ikki militsioner (ya'ni xn va yn) orasida bo'lsa, qochuvchi ham oxiroqibat shu punktga keladi.
1.3. II- ajoyib limitning isboti
Teorema. Agar e son tenglik orqali aniqlangan son ho‘lsa, quyidagi tenglik
o‘rinli bo‘ladi (ikkinchi ajoyib limit):
Isbot. Ravshanki,
tenglikni isbotlash yetarlidir.
Avval deb faraz qilib, deb belgilaymiz. U holda
bo‘ladi va shuning uchun quyidagi ikki tomonlama tengsizlik bajariladi:
Ravshanki, e sonining ta’rifiga ko‘ra da bu tengsizlik o‘ng va chap tomonlarining limitlari e ga teng. Demak,
Endi, agar bo'lsa, deb
=
ni hosil qilamiz.
Agar yuqoridagi tenglikni e’tiborga olsak, da (ya’ni da) oxirgi tenglikning o‘ng tomoni e soniga intilishini ko'rishimiz mumkin. Binobarin, tenglik bajarilar ekan.
1-misol
Quyidagi limitlarni hisoblang:
► 1) Berilgan limitni hisoblashda 1-ajoyib limitdan foydalanamiz. Buning uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz:
2) Bu limit va shu kabi limitlarni hisoblashda berilgan funksiya asosiga birni qo‘shib ayriladi va 2-ajoyib limitga keltiriladi:
3) Bu limitni hisoblashda trigonometrik funksiyalarning davriyligidan va keltirish formulalaridan foydalanib, 1-ajoyib limitga keltiramiz:
◄
|
| |
