|
Mundarija kirish I bob. Sonli ketma-ketliklar
|
| bet | 7/16 | | Sana | 18.11.2023 | | Hajmi | 466,29 Kb. | | #100822 |
Bog'liq Diplom ishi.Rasulova N.A1.7 - Tasdiq. { } ketma-ketlik songa yaqinlashishi uchun ketma-ketlikning cheksiz kichik bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. limit va cheksiz kichik ketma-ketlik ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi. Shunday qilib, { } ketma-ketlik songa faqat va faqat quyidagi tenglik o'rinli bo'lgandagina yaqinlashadi:
bunda { } - cheksiz kichik ketma-ketlik.
Endi biz yaqinlashuvchi ketma-ketlik lar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalarni isbot qila olamiz.
1.1 - Teorema. Ikki yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar yig'indisi ham yaqinlashuvchi bo'lib, yig'indining limiti limitlar yig'indisi teng bo'ladi:
(1.14)
Isbot. Faraz qilaylik, va bo'lsin. U holda, 1.7 - tasdiqqa asosan,
(1.15)
va
(1.16)
tengliklar o'rinli bo'ladi, bu yerda va - cheksiz kichik ketma-ketliklar.
Avvalgi band natijalarini hisobga olib, bu ikki tengliklarni qo'shsak,
tenglik hosil bo'ladi, bunda - cheksiz kichik ketma-ketlik.
O'rnatilgan tenglik, 1.7 - Tasdiqqa ko'ra, ketma-ketlikning songa yaqinlashishini anglatadi.
1.2 - Teorema. Ikki yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar ko'payt masi yana yaqinlashuvchi bo'lib, ko'paytma limiti limitlar ko'paytmasiga teng bo'ladi:
(1.17)
Isbot. Faraz qilamiz, va bo'lsin. U holda, 1.7 - Tasdiqqa asosan, (1.15) va (1.16) tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu ikki tengliklarni o'zaro ko'paytirib, oldingi band natijalarini hisobga olsak,
bo'ladi, bu yerda - cheksiz kichik ketma-ketlik.
O'rnatilgan tenglik, 1.7 - Tasdiqqa ko'ra, ketma-ketlik songa yaqinlashishini anglatadi.
Natija. va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda, ixtiyoriy va haqiqiy sonlar uchun ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo'lib,
tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu xossaga limitga o'tish amalining chiziqliligi deyiladi.
Xususan, bo'lganda oxirgi tenglikdan
(1.18)
munosabatni olamiz.
4. Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketliklar nisbatini o'rganishga o'tamiz. Bunda maxrajda turgan ketma-ketlikning barcha hadlari va uning limiti noldan farqli bo'lishi zarur.
|
| |
