Mathcad tizimida interpolyatsiya va approksimatsiya masalalarini yechish
Interpolyatsiya. Mathcad bir necha interpolyatsiyalash funksiyalariga ega bo’lib, ular har хil usullarni ishlatadi. Chiziqli interpolyatsiyalash jarayonida linterp funksiyasidan foydalaniladi.
Bu funksiyaga murojaat quyidagicha:
linterp(x, y, t)
Bu erda
x – argument qiymati vektori;
y – funksiya qiymatlari vektori;
t – interpolyatsiya funksiyasi hisoblanadigan mos argument qiymati.
Interpoyasiyalash
F unktsiyani jadval bilan belgilashning kamchiligi shundaki, jadvalda noaniq bo'lgan o'zgaruvchilar qiymatlari bo'ladi. Bunday qiymatlarni topish uchun taxminiy deb nomlangan berilgan funktsiyaga yaqinlashish va yaqinlashtirish bilan almashtirish harakati aniqlanadi.
approksimatsiya shundan iboratki, f(x) funktsiyasi bo'yicha mavjud ma'lumotlardan foydalanib, boshqa funktsiyani ko'rib chiqish mumkin - C(x), ma'lum ma'noda f(x) ga yaqin va unga tegishli operatsiyalarni bajarishga va bunday almashtirishning xatosini baholashga imkon beradi.
Taxminiy funktsiyaga misol
Shakl 2. Taxminiy funktsiyaga misol.
Tugun nuqtalari orasidagi (interpolatsiya) va ularning tashqarisidagi (ekstrapolyatsiya) intervallarda funktsiyalar qiymatlarini taxminiy hisoblash muammosi dastlabki bog'liqlikni taxmin qilish yo'li bilan hal qilinadi, ya'ni.uni biron bir oddiy funktsiya bilan almashtirish orqali. Mathcad tizimi ikkita muhim funktsiya turiga yaqinlashish imkoniyatini beradi: qismli chiziqli va spline.
Yaqinlashtirish uchun funktsiyalar:
* regress (mxy, Vz, n) :interp funktsiyasi tomonidan so'ralgan vektorni qaytaradi (VS. Mxy, Vz, V) Moss va vz to'plamlarining nuqtalarini eng yaxshi yaqinlashtiradigan n-darajali polinomni hisoblash uchun Moss x va y koordinatalarini o'z ichiga olgan 2m o'lchamdagi matritsadir. Vz - m - mossda ko'rsatilgan m nuqtalarga mos keladigan z koordinatalarini o'z ichiga olgan o'lchovli vektor.
* Interp (VS, Mxy, Vz, V) berilgan VS vektorlari bo'yicha z qiymatini qaytaradi (regress funktsiyasi tomonidan yaratilgan) va Moss, Vz va V (koordinatalar vektori x va y berilgan nuqta uchun z).
* genfit(VX, VY, VS, F) bu funksiya vektorni f funksiyasi parametrlariga qaytaradi, bu esa f(x, K 1, K 2, ..., k n) funksiyasi bilan minimal o'rtacha kvadrat yaqinlashuv xatosini beradi.
Umumiy turdagi chiziqli regressiyani amalga oshirish uchun funktsiya ishlatiladi
* linfit(VX, VY,F) u k umumiy shaklidagi chiziqli regressiya koeffitsientlari vektorini qaytaradi, bunda koordinatalari VX va VY vektorlarida saqlanadigan boshlang'ich nuqtalarning "bulut" yaqinlashuvining o'rtacha kvadratik xatosi minimal bo'ladi. Vektor f belgilar shaklida yozilgan f 1(x), F 2(x), ..., F n(x) funktsiyalarini o'z ichiga olishi kerak
Interpolatsiya (yaqinlashuvning alohida holati)
Agar f(x 0) qiymatiga ega bo'lgan y \ u003d f(x) jadval funktsiyasi uchun XI C tugunlariga mos keladigan taxminiy funktsiyani (x) qurish kerak bo'lsa, unda bu usul interpolatsiya deb ataladi.
Qismli chiziqli interpolatsiyada qo'shimcha nuqtalarni hisoblash chiziqli bog'liqlik bo'yicha amalga oshiriladi. Grafik jihatdan, bu shunchaki tugun nuqtalarini chiziq segmentlari bilan bog'lashni anglatadi, buning uchun quyidagi funktsiya ishlatiladi:
x)Linterp (VX, * - berilgan vektorlar uchun VX va vy tugun nuqtalari va berilgan argument X. Linterp funktsiya qiymatini chiziqli interpolatsiya paytida qaytaradi. Ekstrapolyatsiya paytida ikkita ekstremal nuqta orqali chizilgan chiziq segmentlari ishlatiladi.
Chiziqli interpolatsiyada Approksimatsiya funktsiyaning birinchi hosilasi allaqachon tugun nuqtalarida uzilishlarga duch keladi. Faqatgina taxminiy funktsiya emas, balki uning bir qator hosilalari uzluksiz ekanligiga ishonish uchun asos bo'lgan hollarda, spline yaqinlashuvi sezilarli darajada yaxshi natijalar beradi. Uning yordamida asl funktsiya uchta qo'shni tugun nuqtasidan o'tgan kubik polinomlarning segmentlari bilan almashtiriladi. Polinom koeffitsientlari birinchi va ikkinchi hosilalar uzluksiz bo'lishi uchun hisoblanadi. Spline funktsiyasi tomonidan tavsiflangan chiziq tugun nuqtalarida mahkamlangan egiluvchan o'lchagichga o'xshaydi (shuning uchun taxminiy nom: splain - moslashuvchan o'lchagich).
Spline yaqinlashtirishni amalga oshirish uchun MathCAD to'rtta o'rnatilgan funktsiyani taklif qiladi. Ulardan uchtasi turli xil interpolatsiya turlarida spline funktsiyalarining ikkinchi hosilalari vektorlarini olishga xizmat qiladi:
* Cspine(VX, VY)- kubik poliomga mos yozuvlar nuqtalarida yaqinlashganda ikkinchi hosilalarning VS vektorini qaytaradi;
* pspline (VX, VY)- parabolik egri chiziqqa mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalarga qarshi vektorni qaytaradi;
* Ispline (VX, VY)- to'g'ri chiziqning mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalarning VS vektorini qaytaradi.
Shunday qilib, spline-Approksimatsiya ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchisida, cspline, pspline yoki ispline funktsiyalaridan biri yordamida funktsiyaning ikkinchi hosilalari vektori topiladi y(x), vektorlar tomonidan berilgan VX va vy uning qiymatlari (abscissa va ordinat). Keyin ikkinchi bosqichda har bir kerakli nuqta uchun y(x) qiymati interp funktsiyasi yordamida hisoblanadi.
|
