2.3 Maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masala uchun “qirqilgan” ayirmali sxemalar qurish va uning yaqinlashish tezligini tahlil qilish.
Endi teng va tengmas qadamli to’rlarda qurilgan “aniq” ayirmali sxemalarga asoslanib “m” rangli “qirqilgan” ayirmali sxemalarni quramiz.
nuqtadan formula bo’yicha local koordinatalar sistemasiga o’tamiz va shablon funksiyalarni va ko’phadlar bilan almashtiramiz:
(2.17) uch nuqtali “aniq” ayirmali sxemani , orqali ifodalaymiz.
(2.24)
Bu yerda va
, lar quyidagi
(2.25)
(2.26)
Koshi masalalarining yechimlari bo’ladi , larni quyidagi
(2.27)
Qatorlar ko’rinishida ifodalash mumkin. Bu erda , lar quyidagi rekurent formulalar yordamida topiladi.
uchun qatori qaraymiz va uning absalyut yaqinlashtiruvchi ekanligini ko’rsatamiz.
va
shunday qilib
bo’lganidan
bu yerda
Songa ko’ra matematik induksiya metodidan foydalanib
Olingan tenglikdan foydalanib, ni baholaymiz
bo’lganda
va qavslar ichidagi qator yuqoridan
qator bilan chegaralanganidan va bu qator yig’indisi
bo’lgani uchun.
da
bo’ladi.
Shunday qilib regulyar kesmalarda
ifoda chegaralangani da bo’lganidan qator absalyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Xuddi shunday o’xshash qator ham yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatish mumkin.
Agar (2.27) qatorda m tadan qo’shiluvchilar bilan cheklansak, ya’ni
(2.28)
ko’phadlar bilan cheklansak, quyidagi
(2.29)
m – rangli “qirqilgan” ayirmali sxemaga ega bo’lamiz.
Bu yerda
Endi teng qadamli to’rda m – rangli “qirqilgan” ayrmalali sxema yaqinlashish tengligini baxolaymiz.
Shu maqsadda va lar uchun keltiramiz, , lar esa o’xshash xossalarga ega bo’ladi.
Lemma 2.8 Agar (2.3) shartlar bajarilib, bo’lsin, u holda quyidagi tengsizliklar yetarlicha kichik h ning qiymatlarida o’rinli bo’ladi.
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Bu yerda
,
Isbot: (2.30) tenglikni ilgari isbotlagan edik. (2.31) tengsizlikni isbotlaymiz.
va dan
bundan esa (2.30) dan (2.31) kelib chiqadi.
bu yerda
Bu tenglikda bo’lganda normaga o’tib
bu yerda
va
ma’lumki agar bo’lsa u holda
demak
Agar ning uzluksizligini talab qilsak h ning yetarlicha kichik qiymatlarida
Demak yuqorida isbotlanganlarga asoslanib,
Xuddi shunga o’xshahs
uchun kerakli baholash olinadi.
Quyidagi baholashlarni isbotsiz keltiramiz.
Shunday qilib Lemma 2.8 to’liq isbot qilindi.
Agar
belgilashlarini kiritsak
lar uchun quyidagi belgilashlar o’rinli bo’ladi:
(2.34)
(2.35)
(2.34) tengsizlik isbotini keltiramiz . (2.35) esa shunga o’xshash isbotlanadi.
shunday qilib
bo’lganda
bo’lganda integral o’zidagi funksiyani o’rganamiz.
Shunday qilib
Matematik ivduksiya metodidan foydalanib,
shunday qilib
Kvadrat qavslar ichidagi ifoda yuqoridan chegaralangan va
Shunday qilib , deb tanlab , (2.34) tengsizlikni isbotini olamiz.
Ta’rif: Agar matritsa uchun
Tengsizlik bajarilsa , , ko’rsatkich bilan Gelder bo’yicha uzluksiz deyiladi. Agar bo’lsa Lipshish shartini qanoatlantiradi deyiladi.
Quyidagi to’r uchun skalyar ko’paytmani kiritamiz.
(2.36)
Lemma 2.9 (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib, bo’lsin. U holda yetarlicha kichik qiymatlarida
(2.37)
(2.38)
|
