2.2 Maxsus to’rda maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masala uchun qurilgan yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemalar.
Quyidagi teorema o`rinli bo`ladi.
Teorema 2.1 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lib, bo`lsin, u holda (2.1), (2.2) chegaraviy masala uchun uch nuqtali aniq ayirmali sxema mavjud bo`lib
(2.17)
Ko`rinishga ega bo`ladi. Bu yerda
Isboti. (2.1) ni Grin funksiyasiga ko`paytirib, bo`yicha dan gacha oraliqda integrallab, uncha murakkab bo`lmagan almashtirishlardan keyin qurilishiga ko`ra aniq bo`lgan quyidagi
ni hosil qilamiz. Bu olingan ayirmali sxema ayni shakl almashtirishlar yordamida (2.17) ko`rinishga keltiramiz. Haqiqatan ham
deb,
Agar (2.18) da ekanini va operatorni inobatga olsak, (2.17) ko`rinishdagi aniq ayirmali sxemani hosil qilamiz.
Albatta bu aniq sxemadan amaliy hisoblashlarda foydalanib bo`lmaydi, sababi koeffisientlar ko`p karrali integrallardan iborat bo`lib bunday integrallarni aksariyat hollarda aniq hisoblab bo`lmaydi.
Shu sababdan “aniq” sxemalarga tayangan holda “m” rangli qirqilgan ayirmali sxemalar quriladi.
Bundan tashqari teng qadamli to`rda qurilgan ushbu aniq sxemalarga asoslanib tuzilgan “qirqilgan” ayirmali sxemalar sxema rangi 0 ga teng bo`lganda hech qanday aniq yechimga yaqinlashmaydi. Maxsuslikga ega bo`lgan differensial masalalar uchun qurilgan ayirmali sxemalar aniqligini oshirish yo`llaridan biri bu maxsuslikni hisobga oladigan tengmas qadamli to`r tanlashdan iborat.
Endi maxsus tengmas qadamli to`rda (2.1), (2.2) masala uchun “aniq” ayirmali sxema qurish bilan shug`ullanamiz.
Buning uchun [-1; 1] da quyidagi
Tengmas to`rni kiritamiz. Bu yerda
Demak
va
Ekanini ko`rsatish qiyin ish emas. To`r shunday tanlanganki [-1;1] kesma chegaralarida tugunlar soni ortib boradi, to`r markazida esa tugunlar ancha siyrak joylashgan.
Xuddi teng qadamli to`r bo`lgani kabi quyidagi koshi masalalarining yechimlari bo`ladigan , shablon funksiyalarni kiritamiz.
(2.19)
“Aniq” ayirmali sxema tushunchasi bu holda xuddi teng qadamli to`rdagi kabi kiritiladi. Quyidagi lemma o`rinlidir.
Lemma 2.5 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lsin, u holda
shablon funksiyalar
1.
2. - lar chiziqli bog’liq emas.
Lemma isboti [1] dagi o’xshash lemma isbotidan farq qilmaydi.
Lemma 2.6 (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib, bo’lsin, u holda
1)
2) (2.20)
3)
tengliklar o’rinli bo’ladi.
Isbot: Lemma xuddi teng qadamli to’rda bo’lgani kabi Koshi masalasidan foydalanib isbotlanadi. Endi tengmas qadamli to’rda operatorning Grin funksiyasini quramiz. Bu funksiya quyidagi chegaraviy
(2.21)
Masalaning yechimi bo’ladi.
Bundan tashqari
bunda
Shartlarni ham qanoatlantiradi.
Lemma 2.7: (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib bo’lsin, u holda operatorning Grin funksiyasi mavjud bo’lib
(2.22)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bu olingan natijalardan foydalanib, xuddi teng qadamli to’rda bajarilgan ishlarni bajarib (2.1) , (2.2) masala uchun tengmas qadamli torda “aniq” ayirmali sxemani tuzamiz. Buning uchun (2.1) tenglamani Grin funksiyasiga ko’paytirib bo’yicha dan gacha integrallab uncha murakkab bo’lmagan almashtirishlardan keyin, qurilishga ko’ra “aniq” bo’lgan
Uncha murakkab bo’lmagan o’zgartirishlardan keyin bu “aniq” ayirmali sxemani ancha ixcham ko’rinishga keltirish mumkin. Ya’ni quyidagi teorema o’rinli bo’ladi .
Teorema 2.2: (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib, bo’lsin u holda (2.1) , (2.2) masala uchun maxsus tengmas qadamli to’rda uch nuqtali “aniq” ayirmali sxema mavjud bo’lib
(2.23)
ko’rinishga ega bo’ladi.
bunda
|
