| Isbot: Agar biz lar Gelder bo’yicha ko’rinish bilan uzluksizligini talab qilsak , (2.37) , (2.38) baholashlar yanada yaxshilanadi , ya’ni aniqlik ga teng bo’ladi.
(2.37) tenglik ishboti quyidagi yordamchi
lardan kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham
Xuddi shunday o’xshash ikkinchi yordamchi tenglik ham isbotlanadi.
(2.3) ni hisobga olgan holda ning yetarlicha qiymatlarida
tengsizliklar bajariladi.
deb tanlab (2.37) ning isbotini olamiz. (2.38) tengsizliklarni isbotlaymiz.
Xuddi shunga o’xshash
lardan
lar olinadi.
Bundan
olinadi.
Olingan ifodada oldin olingan baxolashlardan foydalansak , (2.38) ning isbotini olamiz.
ekanligini isbotlash uchun qiyin ish emas.
Bu olingan natijalar asosida quyidagi teoremani olamiz.
Teorema 2.5. (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib , va lar ko’rsatkich bilan Gelder shartini qanoatlantirsin. U holda ning yetarlicha kichik qiymatlarida m rangli (2.29) “qirqilgan” ayirmali sxema aniqlikka ega bo’ladi. Ya’ni
(2.39)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Bunda fazoning ayirmali analogi.
Isboti: (2.1) , (2.2) chegaraviy masalaning aniq yechimi bo’lsin. - esa (2.29) m-rangli “qirqilgan” ayirmali sxema bo’yicha topilgan yechim bo’lsin.
deb , aniq ayirmali sxemada deb , ya’ni u ning qiymatini
aniq ayirmali sxemaga qo’yib z – ga skalyar ko’paytirib, Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib
ni hosil qilamiz. Bu erda har doim to’g’ri bo’lgan tenglikdan foydalanib,
ni hosil qilamiz.
Natijada ni hosil qilamiz.
Bundan esa
tengsizlikni aniqlaymiz.
Olingan natijalarga asoslanib , quyidagi teorema o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teorema 2.6 Agar (2.3) shartlar bajarilib , da Lipshits shartini qanoatlantirsa , h – ning yetarlicha kichik qiymatlarida , (2.1) , (2.2) chegaraviy masala uchun qurilgan “qirqilgan” m - rangli (2.29) ayirmali sxema aniqlikka ega bo’ladi.
Ya’ni
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Teoremaning isbotini olich uchun ilgari olingan hamma baholashlarda deb olish kerak. Chunki dan Gelder shartidan Lipshis sharti kelib chiqadi.
Isbot 1. m- rangli “qirqilgan” sxema yaqinlashish tezligini tekshirganda maxsusulik bo’lmagan holdagiga nisbatan tezlikning ikki marta kamligi kelib chiqadi. Bunday effektning mavjudligi [ ] da ham ko’rsatilgan.
Isbot 2. Yuqori rangli “qirqilgan” sxemalar bilan ishlaganda dan bog’liq bo’lgan ko’p karrali integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi.
Bu muammoni quyidagicha yengish mumkin har bir kesmaning o’rta nuqtasi da (agar bo’lsa da) integral ostidagi funksiyani Teyler qatoriga yoyamiz va qatorning m tertibli hosilasigacha bo’lgan qismini olamiz. Bunda m- “qirqilgan” ayirmali sxema rangi.
Endi notekis qadamli maxsus to’rdan m- rangli “qirqilgan” ayirmali sxema aniqligini baholaymiz. Ma’lumki , ayirmali sxema aniqligini oshirish maqsadida shunday maxsusu tengmas qadamli to’r tanlangan edi.
Xuddi teng qadamli to’rda bo’lgani kabi. nuqtada bunda
Formulalar bo’yicha mahalliy local koordinatalarga o’tamiz va
shablon funksiyalarni ko’phadlar bilan almashtiramiz:
Uch nuqtali aniq ayirmali sxemani va lar orqali yozamiz
(2.40)
Bunda
va lar quyidagi Koshi masalalarning yechimlari bo’ladi.
(2.41) , (2.42) Koshi masalalari yechimlari
(2.43)
qatorlar ko’rinishida ifodalash mumkin.
Bunda , lar quyidagi rekurent formulalar yordamida topiladi.
qatorning absalyut yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
dan va (2.3) dan
va
Shunday qilib
Matematik induksiya metodidan foydalanib
tengsizlikni isbotlash mumkin. Bizga oson isbotlanadigan
(2.44)
Tengsizlik kerak bo’ladi larning normalari uchun olingan baholashlardan foydalanib , qatorni baholaymiz.
kvadrat qavs ichida joylashgan qator bo’lganda yuqoridan
qator bilan chegaralangan bu qatorning yig’indisi
funksiyaga teng.
funksuya da o’suvchi funksiya bo’ladi.
Bundan
va
Xuddi shunga o’xshash
tengsizlik ham isbotlanadi.
Natijada
qatorlar yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar (2.43) da m- ta qo’shiluvchi bilan cheklansak , ya’ni bu qatorlar o’rniga
ko’phadlar bilan cheklansak
(2.45)
Ayirmali sxemani olamiz. Bu ayirmali sxemaga tengmas qadamli to’rda m- rangli “qirqilgan” ayirmali sxema deyiladi.
Bu yerda
Uch nuqtali “qirqilgan” m- rangli ayirmali sxema yaqinlashish tezligini baholash uchun funksiyalar xossalalrini o’rganamiz. Faqat xossalarni isbotlaymiz lar xossalari esa shunga o’xshash isbotlanadi.
Lemma 2.10: (2.3) shartlar bajarilgan bo’lib bo’lsin. U holda shunga topiladiki bo’lganda
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
| 