I Bob bo`yicha xulosasi.
Dissertatsiyaning I bobida aniq va yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemalar hamda ularning qurish usullari haqida ma’lumotlar keltirilgan.
Aniq ayirmali sxemalarni qurishda muhhhim ahamiyatga ega bo`lgan shablon funksiyalarning xossalari o`rganilgan.
Bu bobdagi materiallar asosan A. A. Samarskiy va A. N. Tixonovlarning ilmiy ishlariga asoslangan.
II Bob. Maxsuslikga ega bo’lgan chegaraviy masalalar uchun ayirmali sxemalar. 2.1 Maxsuslikga ega bo’lgan differentsial masalalar uchun ayirmali sxemalar qurish.
Ma’lumki, ayirmali metod matematik fizikaning juda ko`plab masalalarini sonli yechish uchun eng universal metod sanaladi. Ammo shunga qaramasdan qo`yilgan masala uchun qurilgan har qanday ayirmali sxema ham kutilgan natijani beravermaydi.
Har bir ayirmali sxemani qurganda uning turg`unligi , approksimatsiyadan tartibi va yaqinlashish tezligini aniqlashga to`g`ri keladi. Malum bir shartlar bajarilganda turg`unlik va approksimatsiyadan yaqinlashish kelib chiqadi.
Hisoblash amaliyotida maxsuslikka ega bo`lgan differentsial masalalar ham ko`plab uchrab turadi. Tabiiyki odatdagi differentsial masalalarni sonli yechishga mo`ljallangan ayirmali sxemalar bunday masalalarni yechish uchun mutlaqo yaroqsizdir.
Maxsuslikga ega bo`lgan chegaraviy masalalar uchun ayirmali metodni qo`llash masalasi U. G. Bagmut, N. M. Baloyan, Yu. M. Moloxovich ishlarida qaralgan.
Xuddi shuningdek V.M. Lujnix, Y.Y. Hamroyevning olib brogan izlanishlari logarifmik maxsuslikga ega bo`lgan ikkinchi tartibli differentsial tenglama va differentsial tenglamalar sistemasi uchun yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemalar qurish va ularni tahlil qilishga bag`ishlangan.
Umuman bu sohada V.L. Makarov rahbarligidagi ilmiy maktabning hissasi beqiyosdir.
Maxsuslikga ega bo`lgan differentsial masalalar uchun yuqori aniqlikdagi ayirmali sxemalar qurishda 1960 yillarda A.A. Samarskiy va A.N.Tixonovlar tomonidan fanga kiritilgan “aniq” ayirmali sxemalar va ularga asoslangan “m” rangli qirqilgan ayirmali sxemalar muhim ahamiyatga egadir.
“Aniq” ayirmali sxemalarning quyidagi ikkita afzallik tomoni bor.
Birinchidan qo`yilgan differentsial masalaning yechimi mavjud va yagona bo`ladigan shartlar bajarilganda ayirmali sxema ham mavjud va yagona bo`ladi.
Ikkinchidan ayirmali sxemaning aniqlik darajasini oshirish uchun “shablon” dagi nuqtalar sonini , to`rdagi tugunlar sonini oshirishga hojat yo`q , faqat ayirmali sxemaning koeffisientlarini ifodolovchi matritsaviy qatorlarda , qo`shiluvchilar soni oshirilsa kifoya.
Shuningdek “aniq” ayirmali sxemalar va istalgan aniqlikdagi “qirqilgan” ayirmali sxemalar boshqa ayirmali sxemalar aniqligini baholashda etalon bo`lib xizmat qilishi mumkin.
Bunday ayirmali sxemalardan chekli elementlar metodi aniqligini baholashda ham foydalanish mumkin.
Ushbu magistrlik dissertatsiyasida I. L. Makarov va Yu. Yu. Hamroyevlarning tadqiqotlariga asoslangan holda logarifmik maxsuslikga ega bo`lgan ikkinchi tartibli differentsial tenglama uchun qo`yilgan chegaraviy masalani yechishga mo`ljallangan yuqori aniqlikdagi “aniq” va “qirqilgan” ayirmali sxemalar qurilgan.
Tenglamadagi maxsuslikni o`zida aks ettiruvchi maxsus tengmas qadamli to`rda м-rangli qirqilgan ayirmali sxemalarning aniqligi, yaqinlashish tezligi maxsus vaznli ayirmali normada baholangan.
Xuddi shuningdek ishda ayirmali sxema aniqligini oshirish masalasi alohida o`rganilgan.
Masalaning qo`yilishi yechimning mavjudligi va yagonaligi
Chegaraviy masalani qaraymiz. Bunda
(2.3)
Shartlar bajariladi.
(2.3) shartlar bajarilganda ,
lar uchun (2.1) , (2.2) chegaraviy masala yagona yechimga ega bo`ladi. Bu yerda , da bo`laklab uzluksiz funksiyalar to`plamini anglatadi.
Dastlab (2.1) (2.2) chegaraviy masala uchun ayirmali sxemani
(2.4)
teng qadamli to`rda quramiz.
funktsiyalarning uzilish nuqtalari to’r nuqtalaridan iborat bo’lsin deb hisoblaymiz.
Tarif 2.1. (2.1), (2,2) masala uchun uch nuqtali aniq ayirmali sxema deb,
(2.5)
ko`rinishidagi ayirmali sxemaga aytiladi.
Bunda va lar dan bog`liq funksionallar, esa dan bog`liq funksional bo’lib, u dan chiziqli bog`liqdir. Bunda kesmada o’zgaradi va barcha lar uchun shart bajariladi.
Bizga uch nuqtali ayirmali aniq sxemani qurish uchun quyidagi Koshi masalalarining yechimi bo’ladigan funksiyalarning xossalaridan foydalanish kerak bo’ladi.
(2.6)
Bu yerda kroneker simvoli ya’ni
Shablon funksiyalarning xossalari quyidagi lemmalarda o`z ifodasini topgan.
Lemma 2.1 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lsin, u holda
Shablon funksiyalar quyidagi xossalarga ega bo`ladi.
1.
2. chiziqli bog`liq emas.
Bu lemma isboti I-bobdagi isbotdan prinsipial farq qilmagani uchun uni yana bir marta keltirishni lozim topmadik.
Lemma 2.2 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lsin, u holda funksiyalar quyidagi xossalarga ega bo`ladi.
1) (2.7)
2) (2.8)
(2.9)
Bu xossalarning isboti [10] dagi shunga o`xshash xossalar isbotidan prinsipial jihatdan katta farq qilmagani uchun uni alohida keltirib o`tirmaymiz.
Bizga keyinchalik kerak bo`ladigan L(p,q) operatorning [xi-1, xi+1] kesmada Grin funksiyasini qaraymiz.
Bu funksiyaga
Chegaraviy masalaning yechimi bo`ladi. Bundan tashqari u
Shartlarni ham qanoatlantiradi. Bunda
L(p,q) operatorning Grin funksiyasini qurish uchun quyidagi Koshi masalasining yechimi bo`ladigan
Funksiyalarni kiritamiz.
Quyidagi lemma o`rinlidir.
Lemma 2.3 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lib,
bo`lsin , u holda L(p,q) operatorning Grin funksiyasi mavjud bo`lib,
ko`rinishga ega bo`ladi.
Isboti. Grin funksiyasini
ko`rinishda izlaymiz. Bu yerda no’malum funksiyalar. lar esa ilgari aniqlagan edi. Lemma 2.2 ga ko`ra shablon funksiyalar chiziqli bog’liq bo`lmagani uchun Grin funksiyasini (2.13) ko`rinishda izlash mumkin. ning ta’rifiga ko`ra , lar uchun quyidagi tenglamalarni olamiz.
=
(2.14)
lar uchun mavjud (2.6) Koshi masalalaridan foydalanib, (2.14) sistemaning yechimini topamiz.
ni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan agar
(2.15)
Funksiyalarni kiritsak.
= (2.16)
=
ni hosil qilamiz. va larning bu topilgan qiymatlarini (2.13) ga qo`yib, Grin funksiyasini hosil qilamiz.
Quyidagi lemma o`rinlidir.
Lemma 2.4 (2.3) shartlar bajarilgan bo`lsin, u holda shablon funksiyalar quyidagi xossalarga ega bo`ladi.
1.
2.
Bu lemma xuddi [1,2] dagidek isbotlanadi.
| 