|
Reja: Kompleks son tushunchasi
|
| bet | 3/9 | | Sana | 23.01.2024 | | Hajmi | 3 Mb. | | #143972 |
Trigonometrik ko‘rinishi.
Ixtiyoriy
(1)
kompleks sonni olaylik. Tekislikda, koordinatalari x va y bo‘lgan M(x,y) nuqtani qaraymiz.
Ma’lumki, shu M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Bu radius-vektorning uzunligi r, uning Ox o‘qi bilan tashkil etgan burchagi bo‘lsin.
Chizmada tasvirlangan OMB to‘g‘ri burchakli uchburchakdan quyidagilarni topamiz:
Unda (1) ko‘rinishdagi kompleks son quyidagicha
(2)
ifodalanadi.
Odatda kompleks sonning bu ifodasi uning trigonometrik ko‘rinishi deyiladi. Bunda r musbat son z kompleks sonning moduli deb ataladi va kabi belgilanadi: . burchak esa z kompleks sonning argumenti deb ataladi va argz kabi belgilanadi: =argz. Yana dan, Pifagor teoremasiga ko‘ra
(3)
hamda
, ya’ni (4)
bo‘lishini topamiz.
Demak, z = x + iy kompleks sonning moduli (3) formula, argumenti esa (4) formula yordamida topiladi.
Misol.
1. kompleks sonning moduli hamda argumentini toping.
Bunda bo‘ladi. (3) va (4) ga ko‘ra
, ya’ni
bo‘ladi.
Ushbu
kompleks sonni trigonometrik ko‘rinishda ifodalang.
Bunda bo‘lib,
U holda (2) formulaga ko‘ra berilgan kompleks son quyidagi
trigonometrik ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Ko‘rsatkichli ko‘rinishi.
Faraz qilaylik, sonning moduli argumenti esa bo‘lsin. Unda bu kompleks son
Trigonometrik ko‘rinishga ega bo‘ladi. Kompleks analiz kursida muhim bo‘lgan quyidagi
(5)
Eyler formulasidan (Bu formulani keyingi ma’ruzada isbotlaymiz) foydalansak, z kompleks sonning ushbu
ifodasiga kelamiz. Bu kompleks sonning ko‘rsatkichli ifodasi deyiladi.
, bo‘lsa, u holda
(6)
(7)
(6) va (7) munosabatlardan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
10. va
20. va
|
| |
