Sh. A. Saipnazarov biznes matematika

6 
Bunday holda resurslar talabi va ularning zahiralari orasidagi bog„lanishi 
ushbu tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi: 


1
.
2
.
1
21
3
5
16
2
,
18
3
1
2
2
1
2
1













x
x
x
x
x
x
Masalaning ma‟nosida 
1
x
va 
2
x
o„zgaruvchilar 
0
,
0
2
1


x
x
(1.2.2) 
1
p
turdagi 
mahsulotni sotishdan keladigan foyda 
1
2
x
pul birligi va 
2
p
turdagi mahsulotni 
sotishdan keladigan foyda 
2
3
x
pul birligiga teng. ya‟ni umumiy foyda
2
1
3
2
x
x
F


(1.2.3) 
Shunday qilib, masalaning iqtisodiy matematik modeli quyidagicha: 
(1.2.1) sistemani va (1.2.2) shartni qanoatlantiruvchi ishlab chiqarish 


2
1
,
x
x
X

ni 
topish kerakki, bunda (1.2.3) funksiya eng katta qiymatni qabul qilsin. 
Endi 
n 
turdagi mahsulotni 
m 
turdagi resursdan foydalanib ishlab chiqarish 
masalasini umumlashtirish mumkin. 
Ishlab chiqarishga mo„ljallangan 
j
P
mahsulot birligini 


n
j
x
j
,
,
2
,
1


; 
i
S
resurs zahirasini 


m
i
b
i
,
,
2
,
1


, 
j
P
mahsulot birligini tayyorlashda sarflanadigan 
resurs birligini 
j
ij
P
a
;
mahsulot birligini sotishdan olinadigan foydani 
j
C
bilan 
belgilaymiz. 
U holda ishlab chiqarishning iqtisodiy-matematik modeli quyidagi 
ko„rinishni oladi: 


m
n
mn
m
m
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
nx
a
x
a
x
a




























2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
4
1
2
12
1
11
4
.
2
.
1
,
,
va 
0
,
,
0
,
0
4
2
1



x
x
x

(1.2.5) shartni qanoatlantiruvchi 


n
x
x
x
X
,
,
,
2
1


rejani 
topish kerakki, bunda 
n
n
x
c
x
c
x
c
F





2
2
1
1
(1.2.6) 
funksiya maksimal qiymatni qabul qilsin. 
 
Qorishma tayyorlash masalasi
. Agar qorishma 


,
1,
i
b
i
m

birlikdan kam 
bo„lmagan 
m
xil oziq moddadan iborat bo„lsa, tarkibida yuqoridagi moddalar 
bo„lgan, qoramollar uchun 
n
xildagi to`yimli ozuqa tayyorlash talab etilsin.
Masalaning matematik modelini tuzish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 


1,
;
1,
ij
a i
m j
n


- 
j
- to„yimli ozuqaning bir birligini ishlab chiqarish uchun 
sarflangan, 
i
– ozuqa modda miqdori; 
j
C
- 
j
- to„yimli ozuqaning bir birligining 
bahosi; 
j
x
- kunlik ratsionga qo`shiladigan oziq modda miqdori.
Quyidagi chiziqli funksiyaning minimal qiymatini aniqlang
 
n
n
x
с
x
с
x
с
x
F





2
2
1
1
Ushbu shartlarda

7 


11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
...
.............................................
...
0
1,
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
j
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
x
j
n

 


 


 



Quyidagi chiziqli funksiyaning 
min 
qiymatini toping.
 
n
n
x
с
x
с
x
с
x
F





2
2
1
1
Bundagi maqsad funksiya, kunlik ratsionga sarflangan ozuqa moddalarining 
bahosi. Chegaraviy shartlar esa, kunlik ratsion to„yimli bo„lishini ta`minlaydi. 
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining vektor shakli. 
Quyidagi chegaraviy shartlarda
 
1 1
2 2
0
...
,
0
n
n
A x
A x
A x
A
X

 


chiziqli funksiyani minimallashtiring 
L
CX

, 
bunda 


1
2
,
,...,
n
C
c c
c

; 


1
2
,
,...,
n
X
x x
x

; 
CX
- skalyar ko„paytma; ozod hadlar va 
noma`lumlar oldidagi koeffisientlar vektorlardan iborat
А
а
а
а
А
а
а
а
А
а
а
а
А
b
b
b
m
m
n
n
n
mn
m
1
11
21
1
2
12
22
2
1
2
0
1
2












































































.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
,
.
.
.
. 
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining matrisa shakli.
 
Quyidagi chegaraviy shartlarda
 
0
0
AX
A
X


chiziqli funksiyani minimallashtiring 
L
CX

, 
bunda 


1
2
,
,...,
n
C
c c
c

- satrli matrisa; 
 
ij
A
a

- sistema matrisasi;
Х
х
х
х
m



















1
2
.
.
.
, 
А
b
b
b
m
0
1
2



















.
.
.
- ustunli matrisa. 
Chiziqli programmalashtirish masalasi yozilishining yig‘indi belgilari 
shaklidagi ko‘rinishi
.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
 
 
1
,
0,
1, ,
1,
n
ij
i
j
j
a
b x
i
m
j
n






chiziqli funksiyani minimallashtiring 

8 
Z
C x
j
j
j
n



1
. 
Chiziqli programmalashtirish masalasining ba`zi teoremalari. 
Teorema
(
chiziqli tengsizlikni, chiziqli tenglamaga almashtirish
).
Tengsizlikning 
1 1
2 2
...
n
n
a x
a x
a x
b

 

(1.2.7) 
har bir yechimiga, 
1
0
n
x


bo„lganda
, 
ushbu
1 1
2 2
1
...
n
n
n
a x
a x
a x
x
b


 


(1.2.8) 
tenglamaning


1
2
1
,
,...,
,
n
n
y
 
 


yagona yechimi mos keladi va aksincha.
Isbot
. (1.2.7) tengsizlikning yechimi, 


1
2
,
,...,
n
x
 


bo„lsin. U holda 
quyidagi sonli tengsizlik o„rinli 
1
1
2
2
...
n
n
a
a
a
b




 

. 
Belgilash kiroitamiz


1
1
1
2
2
...
n
n
n
b
a
a
a





 

 
. 
U holda 
1
1
2
2
1
...
n
n
n
a
a
a
b


 


 


Bunda, 
1
0
n



. Bu degani , 


1
2
1
,
,...,
,
n
n
y
 
 


(1.8) tenglamaning ildizi 
bo`lib, 
1
0
n
х


ni qanoatlantiradi.
Demak, agar chegaraviy shartlar sistemasida tengsizliklar bo„lsa (bunday 
holda chiziqli programmalashtirish masalasi 
standart
shaklda berilgan deyiladi), u 
holda har bir tengsizlikka, qo`shimcha o„zgaruvchi kiritib, tenglamalar sistemasini 
hosil qilish mumkin. Qo„shimcha o„zgaruvchilarni 
muvozanat o‘zgaruvchilar
ham 
deyiladi.
Mana 
shundan, 
kanonik 
bo„lmagan 
chiziqli 
programmalashtirish 
masalasidan, kanonik shaklga o„tish qoidasi kelib chiqadi. Masala kanonik 
shaklga o„tishi uchun, har bir tengsizlikka muvozanat o„zgaruvchilar kiritiladi. 
Agar tengsizlikning belgisi 

bo`lsa, muvozanat o„zgaruvchi tengsizlikka musbat 
ishora bilan, tengsizlikning belgisi 

bo„lsa, manfiy ishora bilan kiritiladi. Maqsad 
funksiyaga muvozanat o`zgaruvchilar kiritilmaydi.
Teorema
(
chegaralangan sohadagi, maqsad funksiya ekstremumi
). Agar 
chiziqli 
programmalashtirish 
masalasidagi, 
berilgan 
chegaraviy 
shartlar 
sistemasining, mumkin bo`lgan yechimlar sohasi, yopiq va chekli bo„lsa, bu 
tayanch yechimlar orasidan hech bo`lmaganda bittasi, berilgan masalaning optimal 
yechimi bo„ladi.
 
Teorema
(
chegaralanmagan sohadagi, maqsad funksiya ekstremumi
). Agar 
mumkin bo„lgan yechimlar sohasi chegaralanmagan bo`lsa, optimal yechim 
mavjud bo„lishiining zarur va yetarli sharti, maksimum masalada maqsad funksiya 
yuqoridan chegaralangan, yoki minimum masalada esa quyidan chegaralangan 
bo„ladi. 
Agar teoremalar sharti bajarilmasa, maqsad funksiya, mumkin bo„lgan 
yechimlar sohasida chegaralanmagan bo„ladi. 
Misol
. Chiziqli programmalashtirish masalasini standart shaklga keltiring: 

9 
 


4
,
1
0
10
3
2
6
2
4
2
3
min
3
4
2
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1


















j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
j
Yechish
. Birinchi va ikkinchi chegaraviy shartlarni tengsizliklarga 
o„tkazamiz. Birinchi chegaraviy shartdan 
4
x
ni topib, ikkinchi chegaraviy shartga 
qo„yib, soddalashtirgandan so„ng quyidagini hosil qilamiz.


4
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2 3
2
3
4
2
3
10
0
1, 4
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
 
 




 



Ikkinchi chegaraviy shartdan 
3
x
ni topib, 1- va 3-shartlarga qo„yamiz: 


4
1
2
3
1
2
1
2
2 5
2
4 2
3
8
10
2
0
1, 4
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j
  

  


 


Masala shartiga asosan 
3
x
va 
4
x
o„zgaruvchilar, masala shartiga asosan 
manfiy emasligidan, ularga teng bo`lgan ifodalar ham, manfiy emasdir. Bu 
ifodalarni maqsad funksiyasiga qo„yamiz. Birinchi va ikkinchi chegaraviy 
shartlardan 
3
x
va 
4
x
larni tashlab yuborib, ba`zi almashtirishlardan so`ng, 
matematik modelning standart shaklini hosil qilamiz:
 


2
,
1
0
2
10
8
4
3
2
2
2
5
min
2
7
11
2
1
2
1
2
1
2
1
















j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
j
Misol
. Chegaraviy shartlar sistemasini kanonik shaklga keltiring: 


1
2
3
2
3
5
2
4
4
2
2
2
3
2
6
2
5
11
0
1, 5
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j











Yechish
. Chegaraviy shartlar sistemasini kanonik shaklga keltirish uchun 
yangi manfiy bo`lmagan 
6
7
8
,
,
x
x x
noma`lumlarni kiritamiz. Birinchi tengsizlikka 
6
x
ni, ikkinchi tengsizlikka 
7
x
ni, uchinchi tengsizlikka 
8
x
ni kiritib, quyidagi kanonik 
shaklni hosil qilamiz:

10 


1
2
3
6
2
3
5
7
2
4
8
4
2
2
2
3
2
6
2
5
11
0
1,8
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
j















Download 3,82 Mb.