6.
Funksiya qiymatini taqribiy hisoblashdagi tadbiqi.
16
Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo’lsin O’zining aniqlanish sohasiga tegishli biror
X
0
nuqtada funksiya qiymatini hisoblash zarur bo’lsin. Bu masalani yechishga
Teylor formulasi taqribiy hisoblash imkonini beradi. Buni misolda ko’rib chiqaylik.
Misol.
ni 0,0001 aniqlikda hisoblang.
Yechish.
U holda
formulaga asosan
deb olib,
0,0001 aniqlikda bo’lishini hisobga olib,
natijani olamiz.
Oliy matematika kursida barcha elementar funksiyalarni Teylor qatoriga
yoyilmasini topish mumkin.
Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi.
Teylor formulasi
qoldiq hadi yozilishining turli ko‘rinishlari mavjud.
Biz uning Lagranj ko‘rinishi bilan tanishamiz.
Qaralayotgan
funksiya
nuqta atrofida
–tartibli hosilaga ega
bo‘lsin deb talab qilamiz va yangi
funksiyani kiritamiz.
Ravshanki,
Ushbu
va
funksiyalarga Koshi
teoremasini
tatbiq
qilamiz.
Bunda
e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
17
bu yerda
Shunday qilib, biz
ekanligini ko‘rsatdik, bu yerda
Endi
,
ekanligini e’tiborga olsak
quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
Bu (8) formulani Teylor formulasining
Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadi
d
eb ataladi.
Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni
ko‘rinishda ham yozish mumkin, bu yerda birdan kichik bo‘lgan musbat son, ya’
ni
.
Shunday qilib,
funksiyaning Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor
formulasi quyidagi shaklda yoziladi:
Agar
bo‘lsa, u holda
, bu yerda
,
bo‘lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi
|
