Teylor ko‘phadi. Peaiio ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi

8 
Qaralayotgan f{x) funksiya X
0
nuqta atrofida n + I —tartibli hosilaga ega bo'lsin 
deb talab qilamiz va yangi
funksiyani kiritamiz. 
Ravshanki, 
Ushbu
funksiyalarga Koshi 
teoremasini tatbiq qilamiz Bunda
e’tiborga olib, 
quyidagini topamiz: 
bu yerda
Shunday qilib, biz 
ekanligini ko'rsatdik, bu yerda
ekanligini e’tiborga olsak 
quyidagi formulaga ega bo'lamiz: 
Bu (8) formulani Teylor formulasimng Lagranj 
ко rinishidagi qoldiq hadi deb 
ataladi.
Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadni 

9 
ко rinishdaham yozish mumkin, buyerda Shunday qilib, fix') funksiyanmg Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor 
formulasi quyidagi shaklda yoziladi: 
Agar X
0
= O bo'lsa, u holda
bu yerda
bo lishi ravshan, shu sababli Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi 
shaklida yoziladi. 
 Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng 
sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning 
x
0
 
nuqtadagi qiymatini 
hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo 
bo‘ladi.
Nuqtada 
differensiallanuvchi 
funksiya 
ta’rifiga 
ko‘ra, 
agar 
y=f(x)
funksiya 
x
0
 
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu 
nuqtadagi orttirmasini 
 
ya’ni
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda 
x
0
nuqtada differensiallanuvchi 
y=f(x)
funksiya uchun 
birinchi darajali
ko‘phad mavjud bo‘lib, 
da 
bo‘ladi. Shuningdek, 
bu ko‘phad 
shartlarni ham qanoatlantiradi.

10 
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar 
nuqtaning biror atrofida 
aniqlangan 
funksiya shu nuqtada 
hosilalarga 
ega bo‘lsa, u holda
shartni qanoatlantiradigan darajasi 
n 
dan katta bo‘lmagan 
ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan 
koeffitsientlarni topishda
shartlardan foydalanamiz. Avval 
P
n
(x)
ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida 
olingan 
tengliklar 
va 
(3) 
tenglikning 
har 
ikkala 
tomoniga 
x
o‘rniga 
x
0
ni qo‘yib barcha 
koeffitsientlar qiymatlarini 
topamiz:
Bulardan 
ho
sil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va

11 
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad 
Teylor ko‘phadi
deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va 
Teylor ko‘phadi ayirmasini 
orqali belgilaymiz: 
.
(4) 
shartlardan 
bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi 
ya’ni 
ekanligini 
ko‘rsatamiz. Agar 
bo‘lsa, 
ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik 
ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini 
n 
marta tatbiq qilamiz. U holda
, demak 
da 
o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:

Download 1,57 Mb.