funksiya uchun Makloren formulasi

 
 funksiya uchun Makloren formulasi.
f(x)=e
x
funksiyaning 
(-

;+

) 
oraliqda 
barcha 
tartibli 
hosilalari 
mavjud: 
f
(k)
(x)=e
x
, k=1, 2, ..., n+1. 
Bundan
x
=0 da 
f
(k)
(0)=1, k=1, 2, ..., 
n
; 
f
(n+1)
(

x)=e

x
va
f(0)=
1 hosil bo‘ladi. Olingan natijalarni 3-§ dagi (10) 
formulaga qo‘yib
(1)
bu yerda 0<

<1, formulaga ega bo‘lamiz.
 
 Kо‘p о‘zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi.
Aytaylik, 
  

m
x
x
x
f
x
f
...,
,
,
2
1

funksiya ochiq 
m
R
E

tо‘plamda berilgan bо‘lib, 
 
E
x
U

0

bо‘lsin, bunda 


0
0
2
0
1
0
...,
,
,
m
x
x
x
x

va 
0


. Ravshanki, 


 


0
0
2
0
1
0
0
2
1
,
...
,
,
,
,...,
,
m
m
x
x
x
x
x
U
x
x
x
x





nuqtalarni birlashtiruvchi tо‘g‘ri chiziq kesmasi 








1
0
;
,...,
,
0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1









t
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x
A
m
m
m
shu 
 
0
x
U

ga tegishli bо‘ladi. 
Faraz qilaylik, 


m
x
x
x
f
....,
,
,
2
1
funksiya 
 
0
x
U

tо‘plamda 


1

n
marta 
differensialllanuvchi bо‘lsin. Bu funksiyani 
A
tо‘plamda qarasak, 
 
1
,
0
segmentda 
aniqlangan ushbu 
 








0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
,...,
,
m
m
m
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x
f
t
F







funksiyaga ega bо‘lamiz. 
 
t
F
funksiya 
 
1
,
0
da hosilaga ega bо‘lib, 

19 
 












f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
t
F
m
m
m
m
m
m






































0
0
2
2
2
0
1
1
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
'
...
...
bо‘ladi, bunda 
 
x
f
funksiyaning barcha xususiy hosilalari








0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
...,
,
,
m
m
m
x
x
t
x
x
x
t
x
x
x
t
x






(4) 
nuqtada hisoblangan. 
Umuman, hosil qilingan 
 
t
F
funksiya 
k
-tartibli 


1
,...,
2
,
1


n
k
hosilalarga ega 
va u 
 
 






f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
F
k
m
m
m
k





















0
2
2
2
0
1
1
1
...

ga teng, bundagi barcha xususiy hosilalar (4) nuqtada hisoblangan. Bu 
munosabatning tо‘g‘riligi matematik induksiya usuli yordamida isbotlanadi. 
Shunday qilib, 
 
t
F
funksiya 
 
 
 
 
t
F
t
F
t
F
n
1
'
,
...
,
,


hosilalarga ega 
bо‘ladi. Teylor formulasiga kо‘ra (qaralsin, 24-ma’ruza) 
0
t
nuqtada 


1
0
0


t
 
 
 

  

 
  
  
 
  

1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
'
0
!
1
1
!
1
...
!
2
1

















n
n
n
n
t
t
c
F
n
t
t
t
F
n
t
t
t
F
t
t
t
F
t
F
t
F
(5) 
bо‘ladi, bunda 


1
0
,
0
0







t
t
t
c
. Bu tenglikda 
1
,
0
0


t
t
deyilsa, unda 
 
 
 
 
 
   
 
 

1
'
!
1
1
0
!
1
...
0
!
2
1
0
!
1
1
0
1









n
n
F
n
F
n
F
F
F
F
bо‘lishi kelib chiqadi. 
Ayni paytda,
 


  

,
...,
,
,
1
,
...,
,
,
0
2
1
0
0
2
0
1
m
m
x
x
x
f
F
x
x
x
f
F


(6) 
 
 






f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
m
m
m
k






















0
0
2
2
2
0
1
1
1
0
...

20 
(bunda 
f
funksiyaning barcha xususiy hosilalari 


0
0
2
0
1
,
...
,
,
m
x
x
x
nuqtada 
hisoblangan) bо‘lishini e’tiborga olsak, u holda (5) va (6) tengliklardan ushbu 






0
0
2
0
1
2
1
m
m
x
x
x
f
x
x
x
f
,
...
,
,
,
...
,
,





 

























0
0
2
0
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
1
,
...
,
,
...
!
1
m
k
m
m
m
n
k
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
k
















0
0
0
2
2
0
2
0
1
1
0
1
1
0
0
2
2
2
0
1
1
1
,
...
,
,
...
!
1
1
m
m
m
n
m
m
m
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
































 Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash.
Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini 
qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas 
M 
son mavjud bo‘lsinki, 
argument 
x
ning 
x
0
=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda 
n
ning barcha 
qiymatlarida 
|f
(n)
(x)|

M
tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|R
n
(x)|=| 
|

M

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument 
x 
ning tayin qiymatida 
=0 tenglik 
o‘rinli, demak 
n 
ning yetarlicha katta qiymatlarida 
R
n
(x)
yetarlicha kichik bo‘lar 
ekan.
Shunday qilib, 
x
0
=
0 nuqta atrofida 
f(x)
funksiyani
f(0)+ f’(0)x+ 
f’’(0)x
2
+ ... +
f
(n)
(0)x
n
ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning 
x
nuqtadagi qiymati 
uchun
f(x)

 f(0)+ f’(0)x+ 
f’’(0)x
2
+ ... +
f
(n)
(0)x
n

21 
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy 
hisoblashdagi xatolik |
R
n
(x)|
ga teng bo‘ladi.
3-misol.
e
0,1
ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish.
e
x
funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (1) 
formulada 
x=
0,1 deb olsak, u holda
,
masala shartiga ko‘ra xatolik 0,001 dan katta bo‘lmasligi kerak, demak
R
n
(x)=
<
0,001 tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi 
n
ni topish 
yetarli. 
e
0,1

 
<
2 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib 
olish mumkin:
.
Endi 
n
=1, 2, 3, ... qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu 
tengsizlik 
n
=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
.
Xususiy holda, 
n
=1 bo‘lganda
f(x)

f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)
taqribiy hisoblash formulasi 
R
2
(x)=

(x-x
0
)
2
, 
x
0
<


aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.