5
Teylar formulasi
1. Teylor ko‘phadi. Peaiio ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan bin bo'lib,
ko'plab nazany tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko'phadlar eng sodda
funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning
X
Q
nuqtadagi qiymatini hisoblash
uchun uni shu nuqta atrofida ko'phad bilan almashtirish muammosi paydo boMadi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta'rifiga ko'ra, agary=f(x) funksiyaXo
nuqtada differensiallanuvchi bo‘Isa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
ya’ni
ko'rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda Xo nuqtada differensiallanuvchi y=f(x)
funksiya uchun
birinchi darajali
(1)
ko'phad mavjud bo‘lib,
bo'ladi. Shuningdek,
bu ko'phad
shartlami ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar x = x
0
nuqtanmg biror atrofida aniqlangan
у
= f(x) fimksiya
shu nuqtada
hosilalarga
egabo'isa, u holda
(2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo'Imagan
ko'phad mavjudmi?
Bunday ko'phadni
6
(3)
ko'rinishda izlaymiz. Noma’lum bo'lgan
koeffitsientlami topishda
shartlardan foydalanamiz. Awal P„(x) ko'phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o'miga Xo
ni qo'yib barcha
koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Bulardan
hosil qilamiz. Topilgan natijalami (3) qo'yamiz va
ko'rinishda ko'phadni hosil qilamiz. Bu ko'phad Teylor
ко phadi deb ataladi
Teylor ko'phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz.
Funksiya va Teylor
ko'phadi ayirmasini fi
n
(*) orqali belgilaymiz:
(4)
shartlardan
bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi
ya’ni
ekanligini
7
ко rsatamiz. Agar
bo'Isa,
ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik
ekanligini ko'rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz.
U holda
o'rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
