TEOREMA. Agar (????, ????) = 1 bo`lsa, u holda (1) taqqoslama yagona yechimga ega bo`ladi. ISBOTI

bo`lsin, u holda

𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚
𝑎𝑥₁, 𝑎𝑥₂, … , 𝑎𝑥_𝑚 (2)

ham chegirmalarning to`la sistemasi bo`lishi ma`lum. Agar (1) da 𝑥 o`rniga ketma ket (2) dagi chegirmalarni qo`yib ko`rsak, u holda bu taqqoslamaning chap qismi chegirmalarning to`la sistemasidagi barcha qiymatlardan o`tadi. Bu esa bitta va faqat bitta 𝑥_𝑖 son uchun 𝑎𝑥_𝑖 sonning b songa tegishli bo`lgan chegirma sinfiga tegishli bo`lishini bildiradi, bunda
𝑎𝑥_𝑖 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚)
bo`ladi. Demak, agar <sup>(</sup>𝑎, 𝑚<sup>)</sup> = 1 bo`lsa, (1) taqqoslama yagona bo`lgan
𝑥 = 𝑥<sub>𝑖</sub>(𝑚𝑜𝑑𝑚) yoki 𝑥 = 𝑥<sub>𝑖</sub> + 𝑚𝑡, 𝑡 ∈ ℤ
yechimga ega bo`ladi.
TEOREMA. Agar ⁽𝑎, 𝑚⁾ = 𝑑 > 1 va 𝑏 son 𝑑 ga bo’linmasa, u holda
𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslama yechimga ega bo`lmaydi.
ISBOTI. Faraz qilaylik, 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslama uchun 𝑚 modul` bo`yicha 𝑥<sub>1</sub> sinf yechim bo`lsin va 𝑥₁ ∈ ̅𝑥̅₁̅ bo`lsin, u holda

𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslama 𝑑 ta turli yechimlarga ega bo`ladi. Bu yechim <sup>𝑚</sup>
𝑑
modul`

bo`yicha bitta sinfni tashkil qiladi.
ISBOTI. Shartga ko`ra 𝑎, 𝑏 va 𝑚 sonlar 𝑑 ga bo`linadi. 𝑎 = 𝑎<sub>1</sub>𝑑, 𝑏 =
𝑏<sub>1</sub>𝑑 ∧ 𝑚 = 𝑚<sub>1</sub>𝑑 (1) ni 𝑑 ga bo`lib, unga teng kuchli bo`lgan
𝑎𝑥<sub>1</sub> ≡ 𝑏<sub>1</sub>(𝑚𝑜𝑑𝑚<sub>1</sub>) (4)
taqqoslamaga ega bo`lamiz. Haqiqatan 𝑥 = 𝛼 son (4) ni qanoatlantirsa, u holda
𝑎𝛼 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslamaga ega bo`lamiz, uning ikkala qismini va modulni 𝑑
ga bo`lib, 𝑎₁𝛼 = 𝑏₁(𝑚𝑜𝑑𝑚₁) hosil bo`ladi. Demak, 𝛼 (4) ni qanoatlantiradi.
Aksincha, 𝑥 = 𝛽 butun son 𝑎<sub>1</sub>𝛽 ≡ 𝑏<sub>1</sub>(𝑚𝑜𝑑𝑚<sub>1</sub>) taqqoslamani qanoatlantirsin. Bu taqqoslamaning ikkala qismini va modulni 𝑑 ga ko`paytirib,
𝑎𝛽 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑚) taqqoslamani hosil qilamiz. Demak, 𝛽 (1) ni qanoatlantiradi.
Shunday qilib (1) va (4) teng kuchli ekan. (4) dagi ⁽𝑎, 𝑚₁⁾ = 1, shuning uchun bu taqqoslama
𝑥 = 𝑥₀⁽𝑚𝑜𝑑𝑚⁾ ∨ 𝑥 = 𝑥₀ + 𝑚𝑡, (𝑡 ∈ 𝑡)
yagona echimga ega, bu erda 𝑥₀ 𝑚 modul` bo`yicha manfiymas eng kichik chegirma bo`lsin yoki
… 𝑥₀ − 2𝑚₁, 𝑥₀ − 𝑚₁, 𝑥₀, 𝑥₀ + 𝑚, 𝑥₀ + 2𝑚₁, … , 𝑥₀ + ⁽𝑑 − 1⁾𝑚₁, 𝑥₀ +
𝑑_𝑚1 , 𝑥₀ + ⁽𝑑 + 1⁾𝑚₁, … (5)

5. 
   dagi har bir chegirma (4) ni qanoatlantiradi va demak, (1) ni ham qanoatlantiradi.
   

𝑚_1
= 𝑚
𝑑
modul` bo`yicha (5) dagi hamma sonlar bitta sinfga tegishli, lekin 𝑚 =

𝑚₁𝑑 modul` bo`yicha ular turli sinflarga tegishli bo`ladi, bu sinflarning chegirmalari esa

5. 
   𝑥₀, 𝑥₀ + 𝑚₁, 𝑥₀ + 2𝑚₁, … , 𝑥₀ + ⁽𝑑 − 2⁾𝑚₁, 𝑥₀ + (𝑑 − 1)𝑚₁
   

Demak, (1) m modul` bo`yicha 𝑑 ta turli echimga ega bo`ladi:

bo`ladi.
𝑥 ≡ 2 + 3 ∙ 2(𝑚𝑜𝑑𝑚) ≡ 8(𝑚𝑜𝑑9)