Ta’rif. Agar berilgan {xn} ketma-ketlik uchun biror a son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy olingan musbat son uchun shunday n0 natural son topilsaki, n0n bo‘lganda tengsizlik bajarilsa, a son {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi va
xn a yoki limxn=a
kabi yoziladi.
Masalan, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha
ekanligini isbotlaylik. Buning uchun ihtiyoriy musbat son berilganda ta’rifda aytilgan n0 natural son topilishini ko‘rsatish kifoya.
- ixtiyoriyligidan bo‘ladigan qilib olish mumkin ( deb olinsa kifoya). Endi, deb olsak, yuqoridagi tengsizlik uchun bajarilishi kelib chiqadi. Masalan, =0,001 desak,
yozuv x sonining butun qismini anglatishini eslatamiz.
3-eslatma. Agar x o‘zgaruvchi o‘zining o‘zgarishi jarayonida ketma-ketlikning hadlarini navbatma-navbat qabul qilib borsa, uni varianta deb ataydilar va bu holda yuqorida kiritilgan ketma-ketlik limitini varianta limiti deb ham yuritiladi.
4-eslatma. Chekli limiti mavjud bo‘lgan ketma-ketlikni yaqinlashuvchi, aks holda esa uni uzoqlashuvchi deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan ketma-ketlik limitining ta’rifini geometrik nuqtai-nazarda quyidagicha talqin qilish mumkin. Agar bo‘lsa, u vaqtda, uchun n0 natural son topilib,
bo‘lib, bu sonlar o‘qida ketma-ketlikning bo‘lgan barcha xn hadlari nuqtaning atrofida yotishi kelib chiqadi (1-rasm).
9.1.1-teorema. (Limitning mavjudligi haqidagi 1-teorema). 1) Har qanday kamayuvchi (o‘smovchi) va quyidan biror A son bilan chegaralangan ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘ladi va bu limit A dan kichik bo‘lmaydi; 2) Har qanday o‘suvchi (kamaymovchi) va yuqoridan biror B son bilan chegaralangan ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘ladi va bu limit B dan katta bo‘lmaydi.
Isbot. Aytaylik, yuqoridan B son bilan chegaralangan o‘suvchi (kamaymovchi) ketma-ketlik bo‘lsin. U vaqtda, sonli to‘plamning aniq yuqori chegarasi B0=Sup mavjuddir. Tabiiyki, B0B bo‘ladi. Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra uchun to‘plamning shunday elementi mavjud bo‘ladiki, bajariladi. Bundan va o‘suvchi (kamaymovchi) ekanligidan uchun bo‘lib, , ya’ni kelib chiqadi.
Demak, ketma-ketlikning chekli limiti mavjud va u ning aniq yuqori chegarasiga teng hamda ekan.
Xuddi shunga o‘xshash, kamayuvchi (o‘smovchi) quyidan chegaralangan ketma-ketlikning chekli limitining mavjudligi va u ketma-ketlikning aniq quyi chegarasiga tengligi isbotlanadi.
|
