|
1-mavzu: Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi
|
| bet | 8/10 | | Sana | 11.12.2023 | | Hajmi | 30,89 Kb. | | #115938 |
Bog'liq 1-mavzu Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi-fayllar.org| Isbot. uchun shunday n0 topiladiki, o‘rinli bo‘ladi.
a)
b)
Teorema isbotlandi.
2-natija. Agar {xn} ketma-ketlik noldan farqli chekli limitga ega bo‘lsa, uning hadlari ma’lum nomerdan boshlab o‘z limitining ishorasi bilan bir xil ishoraga ega bo‘ladi.
3-natija. Agar {xn} ketma-ketlikning chekli limiti mavjud bo‘lib, biror n0 nomerdan boshlab
tengsizlik bajarilsa, bo‘ladi.
4-natija. Agar {xn} va {yn} ketma–ketliklarning chekli limiti mavjud bo‘lib, biror n0 nomerdan boshlab
tengsizlik bajarilsa,
o‘rinlidir.
Teorema. Agar {xn} va {yn} ketma-ketliklarning chekli limitlari mavjud bo‘lib, limyn0 bo‘lsa, ning limiti ham mavjud va
tenglik o‘rinlidir.
Isbot. Agar desak, u holda
bo‘lib, yuqoridagi teorema asosida qandaydir n0 nomerdan boshlab o‘rinli bo‘ladi.
Bundan , ya’ni n0 dan boshlab chegaralanganligi kelib chiqadi. Undan tashqari, bxn-an cheksiz kichik miqdor bo‘lishini hisobga olsak,
ekanligidan teorema isboti kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lib, ixtiyoriy olingan musbat M son uchun shunday n0 natural son mavjud bo‘lsaki, o‘rinli bo‘lsa, {xn} ketma-ketlik cheksiz katta miqdor deyiladi va xn yoki limxn= kabi yoziladi.
Bu o‘rinda shuni eslatamizki, “” belgisi sonni emas, balki, sonlarning eng kattasi ham eng kichigi ham mavjud emasligini ko‘rsatuvchi belgini, limxn= yozuv esa limit cheksizga teng degan ma’noni emas, balki, {xn} cheksiz katta miqdor ekanligini anglatadi. Ba’zan xn bo‘lganda {xn} cheksiz katta miqdor deyish o‘rniga miqdor cheksiz limitga ega deb ataladi. Ammo, bu holda u uzoqlashuvchi hisoblanadi.
Yuqoridagi ta’rifda o‘rniga xn>M ishlatilsa, musbat cheksiz katta miqdor, xn<-M ishlatilganda esa, manfiy cheksiz katta miqdor to‘g‘risida so‘z ketadi va bu holda mos ravishda xn+ yoki xn - ko‘rinishda yoziladi.
Cheksiz katta miqdorlar ham cheksiz kichik miqdorlarga o‘xshash xossalarga ega, lekin, bunday xossalarni qo‘llashda ehtiyotkorlik talab qilinadi. Masalan, bir xil ishorali cheksiz katta miqdorlarning yig‘indisi cheksiz katta miqdor bo‘ladi, ammo ayrimasi hamma vaqt ham cheksiz katta bo‘lavermaydi.
Bunga misol qilib, umumiy hadlari mos ravishda bo‘lganda ketma-ketliklarni keltirish mumkin.
Haqiqatdan ham,
- cheksiz katta miqdor,
- cheksiz kichik miqdor,
ya’ni cheksiz katta miqdor emas.
Teorema. Agar {xn} cheksiz katta miqdor bo‘lsa, cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Aksincha, {xn} cheksiz kichik miqdor bo‘lganda, cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Isbot. {xn} cheksiz katta miqdor bo‘lsin, u holda M>0 uchun shunday n0 nomer topiladiki,
bo‘lib,
kelib chiqadi. Endi, desak,
ya’ni cheksiz kichik miqdor bo‘lishini ko‘rish mumkin. Aksinchasi ham shunga o‘xshash isbotlanadi.
|
| |
