Teorema. Agar {xn} ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot a=inf {xn} va b=sup {xn} mavjud bo‘lib, xn[a;b] bo‘lishi ravshandir. ni nuqta yordamida teng ikkiga bo‘lamiz. Bu kesmalardan aqalli bittasida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlari joylashadi, o‘shanisini [a1;b1] deb olamiz va unga tegishli bo‘lgan ketma-ketlikning bitta hadini olamiz, ya’ni ; yuqoridagi jarayonni kesma uchun takrorlash natijasida [a2;b2] kesmaga va oldin tanlangan dan farqli hamda bo‘lgan {xn} ning hadini tanlab, ga ega bo‘lamiz. Va hokazo, bu jarayonni cheksiz takrorlab borish natijasida qismiy ketma-ketlikka (bunda ) va
,
ya’ni bir-birining ichiga joylashgan kesmalar sistemasiga hamda ularning uzunliklari uchun ga ega bo‘lamiz. Bundan bo‘lishi aniqdir. Demak, teoremaga ko‘ra kesmalar uchun umumiy yagona c nuqta mavjud va dir. Undan tashqari, ekanligidan
bo‘lishi avvalgi teoremadan kelib chiqadi, ya’ni yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikdir. Teorema isbotlandi.
Ta’rif (Koshi mezoni). Agar son olinganda shunday mavjud bo‘lsaki, va uchun
tengsizlik bajarilsa, {xn} fundamental ketma-ketlik deyilib, u Koshi shartini qanoatlantiradi deb ham ataladi.
Agar {xn} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, bo‘lsa, uning fundamental ekanligi
tengsizlik yordamida osongina isbotlanadi.
Fundamental ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishini isbotlash ham qiyinchilik tug‘dirmaydi. Shu bilan birga, quyidagi tasdiq ham o‘rinlidir.
Teorema. {xn} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning fundamental bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isboti Koshi mezonini qanoatlantiruvchi ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishidan yuqoridagi teoremani qo‘llash natijasida olinadi (o‘quvchiga mustaqil ravishda isbotlashni tavfsiya qilamiz).
Bu teoremaning tatbiqi sifatida umumiy hadi dan iborat bo‘lgan {xn} , ya’ni 0,1,0,1,… ketma-ketlik yaqinlashuvchi emasligini ko‘rsatamiz.
berilganda uchun
ekanligi ravshandir. Endi, deb faraz qilsak, n har qancha katta olinganda ham
tengsizlikning bajarilmasligi aniqdir. Bu ketma-ketlik uchun Koshi sharti bajarilmas ekan. Demak, u uzoqlashuvchidir.
Teorema. Agar {xn} ketma-ketlik noldan farqli chekli limitiga (ya’ni limxn=a0) ega bo‘lsa, u holda, shunday n0 natural son topiladiki,
o‘rinli bo‘ladi.
|
