|
1-mavzu: Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi
|
| bet | 6/10 | | Sana | 11.12.2023 | | Hajmi | 30,89 Kb. | | #115938 |
Bog'liq 1-mavzu Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi-fayllar.org1-misol. ketma-ketlikni qaraylik, uning kamayuvchi ekanligini yuqorida ko‘rsatgan edik, undan tashqari, uchun ekanligini payqash qiyin emas. Demak, kamayuvchi va 0 soni bilan quyidan chegaralangandir.
Demak, mavjud hamda ekanligi yuqoridagi teoremadan kelib chiqadi. Bu o‘rinda, ekanligidan
bo‘lishi kelib chiqadi.
2- misol. ketma-ketlikni olsak, uchun
bo‘lib,
Ya’ni kamayuvchi va quyidan 2 soni bilan chegaralangan ketma-ketlikka egamiz, demak, uning chekli limiti mavjuddir va bu limit 2 dan kichik emas.
ekanligini isbotlashni o‘quvchiga qoldiramiz.
3- misol. ni qaralsa, uchun
Demak, u o‘suvchi va yuqoridan 1 soni bilan chegaralanganligi uchun chekli limiti mavjud.
bo‘lishiga ishonch hosil qiling.
4- misol. da (c- o‘zgarmas) bo‘lsa, deyish mumkin. Demak, bu holda ketma-ketlik ham kamaymovchi ham o‘smovchi ekanligidan uning chekli limiti mavjud va , ya’ni o‘zgarmasning limiti o‘ziga tengligi kelib chiqadi:
.
Teorema (Limitning mavjudligi xaqidagi ikkinchi teorema). Agar {xn},{yn} va {zn} ketma-ketliklar uchun biror m0 nomerdan boshlab,
o‘rinli va chekli limit mavjud bo‘lsa, chekli limit ham mavjud va bo‘ladi.
Isbot. Teorema shartlari bajarilsin, u vaqtda, >0 uchun shunday n1 va n2 nomerlar topiladiki.
bajariladi. Agar n0=max {n1;n2;m0} desak, uchun ,
ya’ni ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Teorema (Bir-birining ichiga joylashgan kesmalar haqidagi). Agar kesmalar ketma-ketligi uchun
o‘rinli, ya’ni ular bir-birining ichiga joylashgan bo‘lib, , ya’ni kesmalar uzunligining limiti nolga teng bo‘lsa, barcha kesmalar uchun yagona umumiy c nuqta mavjud va
bo‘ladi.
Isbot. uchun va bo‘lib, va ekanligidan va chekli limitlarning mavjudligi 9.1.1-teoremadan kelib chiqadi. Shu bilan birga
o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Undan tashqari
Bu c nuqta barcha kesmalar uchun yagona umumiy nuqtadir. Agar shunday boshqa c0 nuqta ham mavjud deb faraz qilinsa,
ekanligidan, agar c0 bo‘lsa, c00>0) uchun mavjud bo‘lib, bundan
ekanligi kelib chiqadi, buning esa bo‘lishi mumkin emasdir. Xuddi shunga o‘xshash, c0>c hol ham qaraladi. Demak, aytilgan c nuqta yagona ekan.
Ta’rif. Agar {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lib, undan shart asosida ketma-ketlik ajratib olingan bo‘lsa, uni berilgan ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi ham yaqinlashuvchi bo‘lib, u ham asosiy ketma-ketlik limitiga ega bo‘ladi. Lekin, buning aksinchasi hamma vaqt ham o‘rinli bo‘lavermaydi.
|
| |
