|
Teorema. Monoton (keng ma’noda bo‘lishi ham mumkin) ketma-ketlik har doim chekli yoki cheksiz limitga egadir.
Isbot
|
| bet | 9/10 | | Sana | 11.12.2023 | | Hajmi | 30,89 Kb. | | #115938 |
Bog'liq 1-mavzu Funksiya tushunchasi. Ketma-ketlik limiti. Dars rejasi-fayllar.orgTeorema. Monoton (keng ma’noda bo‘lishi ham mumkin) ketma-ketlik har doim chekli yoki cheksiz limitga egadir.
Isbot. Agar monoton ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, uning chekli limiti mavjud ekanligi avvalgi teoremada isbotlangandir. Endi, monoton ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilaylik. Aniqlik uchun bu ketma-ketlik o‘suvchi (kamaymovchi) va yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsin. U vaqtda, olinganda bo‘ladi. Ketma-ketlik o‘suvchiligidan kelib chiqadi. Bu ekanligini ko‘rsatadi.
Xuddi shunga o‘xshash, kamayuvchi (o‘smovchi) quyidan chegaralanmagan ketma-ketlik berilgan bo‘lsa, bo‘lishi ko‘rsatiladi.
Natija. Yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan kamaymovchi (o‘smovchi) ketma-ketlik limitga egadir.
Bu o‘rinda quyidagi mulohazalarni keltirishni lozim topdik. Aytaylik, ketma-ketlik berilgan bo‘lib, uning yordamida umumiy hadlari mos ravishda
kabi aniqlangan , ketma-ketliklar tuzilgan bo‘lsin. Bu o‘rinda, agar ketma-ketlik quyidan (yuqoridan) chegaralanmagan bo‘lsa, shartli ravishda, deb qabul qilish lozimligini aytamiz. Bunday aniqlangan , () ketma-ketlik kamaymovchi (o‘smovchi) bo‘lganligi uchun yuqoridagi 9.2.13-teoremaga ko‘ra uning chekli yoki cheksiz limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlikning quyi (yuqori) limiti deb ataladi va uning uchun belgilash qabul qilingandir.
Quyidagi tasdiq o‘rinli ekanligini payqash qiyin emas.
Teorema. sonli ketma-ketlik limitga ega bo‘lishi uchun uning quyi va yuqori limitlarining teng bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isbotini o‘quvchining o‘ziga qoldiramiz.
Mustahkamlash uchun savollar
1.. Qanday miqdorlar o‘zgaruvchi deb ataladi?
2. Qanday holda funksiya aniqlangan deyiladi?
3. Funksional bog‘lanish qanday belgilanadi?
4. Funksiyaning aniqlanish sohasi deb nimaga aytiladi?
5. Funksiyaning qiymatlar to‘plami nima?
6. Qanday moslik funksiyani ifodalashi mumkin?
7. Funksiya qanday o‘zgaruvchi?
8. Argument qanday o‘zgaruvchi?
9. Funksiya qanday usullarda berilishi mumkin?
10. Oshkor va oshkormas funksiyalar qanday?
11. Ketma-ketliklarning o‘suvchi va kamayuvchi ekanligini ta’riflang.
Chegaralangan ketma-ketlikka misol keltiring.
Ketma-ketlik limitiga ta’rif bering.
Ketma-ketlik limitining mavjudligi haqidagi teoremalarni ayting.
|
| |
