| Bazis vektorlarni soni.
Quydagi teoremani isbotlash bizning keyingi maqsadimizdir.
2.3.1-teorema. fazoning bazisi ta vektordan iborat.
dastlabki bazis ta vektordan tashkil topgan uchun bizning masad uchun ikkita bazis bir xil sondagi vektorlardan iboratligini ko’rsatish yetarli.
2.3.1-eslatma.
vektorlar sistemasi shunday bo’lsinki, vektor shu sistema bo’yicha yoyilsin. Bunday sistemalarni to’la deb aytamiz. To’la sistemaga 1-vektor sifatida biror vektorni qo’shib, yangi
sistemani hosil qilamiz, u chiziqli bog’langan bo’ladi. Bu sistemaga shunday vektor topilib, faqat bitta vektor orqali yoyiladi. Bunday vektorni ortiqcha vektor deb ataymiz. Ortiqcha vektorni o’chirib, yana ta vektordan iborat sistemani hosil qilamiz. Bu sistema xuddi dastlabki sistemaga o’xshab to’la bo’lishini isbotlaymiz.
Buning isboti oson. Chunki vektorni lar bo’yicha yoyish mumkin. Agar bu tasvirga ortiqcha ni uning bo’yicha yoyilmasi bilan almashtirsak, vektorning yuqoridagi ta vektor bo’yicha yoyilmasini hosil qilamiz. Shu sababli u to’ladir.
Endi teorema isbotini so’zlarda ifodalaymiz. Faraz qilaylik,
(2.3.13)
(2.3.14)
fazoning 2 ta turli bazislari bo’lsin. ekanligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, bo’lsin. Aniqlik uchun deb olamiz. (2.3.13) sistemaga
birinchi vektor sifatida ni qo’shib, sistemani ortiqcha vektordan qutqaramiz.
Biz yangi
(2.3.15)
sistemaga kelamiz. Yuqorida isbotlanganiga ko’ra u to’ladir. Uni (2.3.15) bilan belgilaymiz. (2.3.15) sistemaga birinchi vektor sifatida ni qo’shib, hosil bo’lgan sistemani ortiqcha vektordan qutqaramiz, va
sistemani hosil qilamiz, u to’ladir va hokazo.
Takidlab o’tamizki, ortiqcha vektor rolini vektorlardan birortasi bo’la olmaydi, chunki shartga ko’ra ulardan birortasi ham qolganlari orqali ifodalanmaydi. Shunday qilib, har bir qadamda vektorlardan bittasi o’chiriladi.
-qadamdan keyin vektorlarning barchasi o’chirilgan bo’ladi, va
ga kelamiz va u to’la bo’lishi kerak. Bunday bo’lishi mumkin emas. Masalan, bu sistemadagi vektor yoyilmaydi.
deb faraz qilib, qarama-qarshilikka keldik.
| 