| Chiziqli bog’lanmagan sistemani tashkil qiluvchi vektorlan soni.
Avval isbot qilinganiga ko’ra ixtiyoriy bazisni tashkil qiluvchi vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lishi kerak. Bundan oddiy natija sifatida fazoda vektorni o’zida saqlovchi chiziqli bog’lanmagan sistema mavjudligi kelib chiqadi. U holda tabiiy savol paydo bo’ladi: fazoda tadan ko’p vektordan iborat sistema ko’rish mumkinmi? Bunday bo’lishi mumkin emasligini isbotlaymiz.
2.3.2- teorema. Faraz qilaylik, da vektorlarning
chiziqli bog’lanmagan sistemasi berilgan bo’lsin. U holda . Agar bo’lsa, u holda berilgan sistema fazoda bazis bo’ladi.
Isboti. Berilgan sistemani qisqalik uchun bilan belgilaymiz. fazodagi bazisni sistemaga biror
bazisdan vektorlarni qo’shib ko’ramiz.
vektorni qaraymiz. Agar u sistema bo’yicha yoyilsa, unga e’tibor bermaymiz. Agar yoyilmasa, uni sistemaga birinchi vektor
sifatida qo’shamiz. Ikkala holda ham hosil bo’lgan sistemani bilan belgilaymiz. U bilan ustma-ust tushadi yoki unga ni qo’shish bilan hosil bo’ladi.
Keyin vektorga o’tamiz. Agar u sistema bo’yicha yoyilsa, unga e’tibor bermaymiz. Agar yoyilmasa uni ga qo’shamiz. Ikkala holda ham hosil bo’lgan sistemani bilan belgilaymiz.
U yo bilan ustma-ust tushadi yoki unga vektorni qo’shishdan hosil bo’ladi. Shunga o’xshash davom ettiramiz. Xuddi shunday larni tanlab sistemani hosil qilamiz.
U quydagicha xossalarga ega:
2.3.1-xossa: vektor u orqali yoyiladi. Haqiqatdan ham, vektor lar bo’yicha yoyiladi, o’z navbatida bu vektorlarning har biri sistema vektorlari orqali yoyiladi. Bu sistemaning tanlanishidan kelib chiqadi.
2.3.2-xossa: ning birorta vektori ham o’zidan oldingi vektorlar orqali yoyilmaydi. Bu yana ning tanlanishidan kelib chiqadi. Bu sistemaning chiziqli bog’lanmaganligini bildiradi.
2.3.3-xossa: Istalgan vektorning sistema bo’yicha yoyilmasi yagonadir. Agar uchun 2 ta turli yoyilmalar mavjud bo’lsa, u holda ularni ayirib, vektorlar sistemasining chiziqli bog’langanligini hosil qilar edik.
2.3.1-2.3.3-xossalarga ko’ra sistema fazoda bazisni tashkil qiladi. 2.3.1- teoremaga ko’ra bu sistemadagi vektorlar soni gat eng.
sistema vektorlarni saqlagani uchun bo’ladi. bo’lsa, bu vektorlar bazis bo’ladi. Teorema isbotlandi.
| 