| Chiziqli bog’langanlikning boshqa ta’rifi.
Agar (2.3.4) sistemaga uning biror vektorini qolganlari orqali chiziqli ifodalash mumkin bo’lsa yoki bo’lsa (2.3.4) sistema chiziqli bog’langan deyiladi.
Bu ta’rif avvalgi ta’rifga ekvivalentligini ko’rsatamiz.
Agar bo’lsa, u holda sistema chiziqli bog’langan bo’ladi yoki chiziqli kombinatsiya nolga teng, bundan tashqari 1-koefisient noldan farqli bo’ladi. Agar biror vektor qolgamlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalansa
u holda sistema ham chiziqli bog’langan bo’ladi;
chiziqli kombinatsiya nolga teng bo’lib, oldidagi koeffisient noldan farqli bo’ladi.
Aksincha, sistema chiziqli bog’langan bo’lsin, ya’ni (2.3.5) o’rinli bo’lib, koeffisientlardan kamida bittasi nolmas bo’lsin. Nolmas koefisientlardan oxirgisini qaraymiz. Agar bu bo’lsa, u holda shuning uchun . Agar aytilgan koeffisient ,
bo'lsa, ikkala tomonga- ni qo’shib va ikkala tomonini-ga ko’paytirib
tenglikni hosil qilamiz, ya’ni vektorni qolganlari orqali ifodaladik.
Dastlabki bazis.
vektorni bilan belgilaymiz. Shunga o’xshash
vektorga ni mos qo’yamiz va hokazo.
vektorga ni mos qo’yamiz.
Shu usulda aniqlangan
vektorlar shunday xossaga egaki, ular bo’yichadagi vektorni yoyish mumkin. Haqiqatdan ham, vektorni qaraymiz. U formal
(2.3.6)
ko’rinishga ega. 2.3.2 va 2.3.3-ta’riflardan kelib chiqib
(2.3.7)
ko’rinishda yozish mumkin. Ko’rinib turuptiki, vektor vektorlarning koeffisientlar orqali chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi. Shunday qilib,(2.3.6)formal yig’indini endi haqiqiy chiziqli kombinatsiya sifatida qarash mumkin.
vektorlardan fazodagi bazis deyiladi.
fazodagi bazis.
2.3.1-ta’rif: fazodagi chekli sondagi
(2.3.8)
vektorlar quydagi shartlarni qanoatlantirsa:
1) vektor ular bo’yicha yoyiladi:
(2.3.9)
2) bu yoyilma yagona; boshqacha aytganda, agar (2.3.9)bilan birga vektor boshqa yoyilmaga ham ega bo’lsa:
u holda
Bu holda (2.3.8) sistema dagi bazis deyiladi.
Bazisni tashkil qiluvchi vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’ladi. Shuni isbotlaymiz.
Faraz qilaylik (2.3.8) vektorlar chiziqli bog’langan bo’lsin. Ta’rifga ko’ra, bu vektorlarning biror chiziqli kombinatsiyasi nolga teng:
(2.3.10)
Bundan tashqari, sonlardan kamida bittasi nolmasdir. (2.3.9) va (2.3.10)tengliklarni qo’shib
ni hosil qilamiz, ya’ni ning (2.3.8) vektor bo’yicha boshqa tasvirini hosil qilamiz.
| 