1-misol. x6-3x3+2=0 tenglama yechilsin.
Yechish: y=x3 deb belgilab y2-3y+2=0 yordamchi tenglama topa-miz, uning ildizlari y1=1, y2=2.
Natijada x3=1 va x3=2 tenglamalarga ega bo`lamiz. Bular (x- 1)(x2+x+1)=0 va x-3 2x2 3 2x3 40 tenglamalarga teng kuchlidir.
Birinchisidan, x1=1, x2 1i 3 , x3 1i 3 ni, ikkinchisidan x4 3 2,
2
x5 134i 3 , x6 134i 3 ni hosil qilamiz.
2-misol. 3x4+26x2-9 bikvadrat uchhad ko`paytuvchilarga ajratilsin.
Yechish: 3x4+26x2-9=0 tenglamani yechamiz: x2 1314 va x2 1 dan
3
x1 , x2 , x2=-9 dan x3=3i, x4=-3i ni topamiz va
3x4 26x2 9 3x 13 x 13 x 3ix 3ini hosil qilamiz, yoki 3x4 26x2 9
3x1 3x1x3ix3i hosil bo`ladi (kompleks sonlar to`plamida), haqiqiy sonlar to`plamida esa 3x4 26x2 9 3x1 3x1x2 9 bo`ladi.
2-§. Uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu
ax3+bx2+cx+d=0, (a0) (1)
ko‘rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. 7
tenglamaning har ikkala tomonini a ga bo‘lib, ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz:
x3 bx2 cxd 0 . (2)
a a a
da x y b almashtirishni kiritib
3a
y b 3 by b 2 cy b d 0 (3)
3a a 3a a 3a a
tenglamani hosil qilamiz. (3) tenglamani soddalashtirgandan keyin
y3 +py +q=0 (4)
ko‘rinishdagi tenglamaga ega bo‘lamiz. (4)tenglamadagi y o‘zgaruvchi o‘rniga ikkita u va v o‘zgaruvchilarni y=u+v tenglik yordamida kiritamiz. Natijada
(u+v)3 +p(u+v) + q=0 yoki
u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0 (5) tenglamaga ega bo‘lamiz. (5) da u va v larni shunday tanlaymizki, natijada
3uv + p = 0 (6)
shart bajarilsin. Bunday talab qo‘yishimiz o‘rinli, chunki
uv y
p
uv3
tenglamalar sistemasi y berilganda yagona yechimga ega.
dan
u3+v3=- q . (7)
dan u3v3=- p3 / 27 bo‘lgani uchun u va v lar Viet teoremasiga asosan biror z2+qz-p3/27=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Bu tenglamani yechib
z1= u3=q q2 p3 , z2 v3 q q2 p3 (8)
2 4 27 2 4 27
ni hosil qilamiz. (8) dan u= , v= ,
lar topilib, u va v ning har biriga 3ta qiymat, y o‘zgaruvchi uchun esa to‘qqizta qiymat topiladi. Ulardan (6)shartni qanoatlantiruvchilarini olamiz. U holda
(4) tenglamaning barcha yechimlari topiladi.
Agar u, u , u 2 (bunda soni 1 dan chiqarilgan uchinchi darajali ildizlardan biri, ya‘ni 3 =1) lar z1 ning uchinchi darajali ildizlarining qiymatlari bo‘lsa unga mos z2 ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari v, v2, v dan iborat bo‘ladi. Natijada (4) tenglama ushbu
y1= u+v, y2= u +v 2, y3= u 2 +v (9)
ildizlarga ega bo‘lib, unda i 3 bo‘lganligidan
2
y1=u+v, y2= 1 (u v) i 3 (u v), y3 (u v) i 3 (u v) (10)
2 22
yechim hosil bo‘ladi. (10) va x y b ni e‘tiborga olib (1)tenglamaning 3a
x1 y1 b , x2 y2 b , x3 y3 b
3a 3a 3a
ildizlari topiladi.
Haqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglamalarni tekshirish. Endi haqiqiy koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik. Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning haqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi. Teorema. Agar
x3+px+q=0 (11) tenglama haqiqiy koeffistientli tenglama bo‘lib,
q2 p3
4 27
bo‘lsa, u holda quyidagi mulohazalar o‘rinli bo‘ladi:
a)agar >0 bo‘lsa, (11) tenglama bitta haqiqiy va ikkita o‘zaro qo‘shma mavhum ildizlarga ega;
b) =0 bo‘lsa, (11) ning barcha ildizlari haqiqiy va kamida bittasi karrali;
s)agar bo‘lsa (11) tenglamaning ildizlari haqiqiy va turlicha bo‘ladi.
Isboti. a) >0 bo‘lsa, u holda z1 va z2 ildizlar haqiqiy va har xil bo‘ladi.
Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan z1 noldan farqli bo‘ladi.
u 3 z1 soni z1 ning arifmetik ildizi bo‘lsin. Shuning uchun u haqiqiy son
bo‘ladi. uv= - p/3 tenglikka asosan v ham haqiqiy son bo‘ladi. z1 z2 bo‘lganligi
sababli u3 v3 bo‘ladi, bunda u v munosabatning o‘rinli ekanligi ravshan.
(10)ga asosan
1 23 33 (12) x u v, x (u v) iu v, x (u v) iu v
22
bo‘lib, u va v lar haqiqiy hamda turli sonlar bo‘lganligi uchun (12) da x1 haqiqiy, x2 va x3 lar o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar bo‘ladi.
=0 bo‘lsin. Agar =0 va q0 bo‘lsa, u holda z1=z2 =- q/2 0 bo‘ladi.
q
u 3 son -q/2 ning arifmetik ildizi bo‘lsin. uv=-p/3 haqiqiy son bo‘lgani 2 uchun v 3 q - haqiqiy son bo‘ladi, ya‘ni u=v 0 bo‘ladi. (12) formulaga asosan
2
x1=2u0, x2=x3=-u bo‘ladi. Shunday qilib q0 bo‘lganda (11)tenglama uchta haqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo‘ladi.
Agar =0 va q=0 bo‘lsa, u holda p=0 bo‘ladi. Bu holda (11) tenglama x3=0 ko‘rinishda bo‘lib, x1=x2=x3=0 bo‘ladi.
bo‘lsin. U holda z1 q , z2 q bo‘ladi. Demak, z1 , z2 son-
2 2
lari o‘zaro qo‘shma mavhum sonlar ekan. Shuning uchun ham
z1 =z2 (13) va z1 z2 (14) munosabat o‘rinli. (6) va (8) ga ko‘ra
u3= z1, v3= z2, uv= (15)
bo‘lgani uchun (13) va (15) dan u3 v3 bo‘lib, bundan
u= v (16)
kelib chiqadi. (14) ga asosan u v munosabat ham o‘rinlidir. (6)ga ko‘ra uv= bo‘lib, bundan uvkelib chiqadi. Shartga asosan pga
ko‘ra
(17)
tenglik bajariladi. (15) va (17) larga asosan
p 3upu u 3up2 u u , ya‘ni v= = - 3u
vu (18)
tenglik o‘rinlidir. (12)formuladagi v ni u bilan almashtirsak va u v ni e‘tiborga olsak, x1, x2, x3 ildizlar haqiqiy va har xil ekanligi ma‘lum bo‘ladi. Haqiqatan ham (12) formuladan x2 x3 kelib chiqadi.Faraz qilaylik, x1= x2 bo‘lsin. U holda (9) ga asosan u+v = u+v 2 bo‘lib bundan u(1-)=v( 2-1) yoki u = v 2 kelib chiqadi. Bundan z1=z2 va =0 tengliklar kelib chiqadi.Bu esa shartga qarama-qarshidir.Xuddi shuningdek x1 x3 ekanligini ko‘rsatish mumkin. 3-§.To’rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish
To‘rtinchi darajali tenglamani yechishning Ferrari usuli bilan tanishib chiqamiz.Bu usul bo‘yicha to‘rtinchi darajali tenglamani yechish biror yordamchi uchinchi darajali tenglamani yechishga keltiriladi.
Kompleks koeffistientli 4-darajadi tenglama ushbu
x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1)
ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. (1) ni x4+ax3=-bx2-cx-d ko‘rinishda yozib olib, uning
ikkala tomoniga hadni qo‘shamiz va ushbu ko‘rinishdagi tenglamani hosil qilamiz:
- d (2)
(2) tenglamaning ikkala tomoniga (x hadni qo‘shib ushbu
(3)
tenglamani hosil qilamiz. (3) ning chap tomonida to‘la kvadrat hosil bo‘ladi. O‘ng tomonidagi uchxad esa y parametrga bog‘liq. Undagi y parametrni shunday tanlab olamizki, natijada (3)ning o‘ng tomoni to‘la kvatrat bo‘lsin. Ma‘lumki Ax2+Bx+C=0 uchxad to‘la kvadrat bo‘lishi uchun B2- 4AC=0 bo‘lishi yetarli.
Haqiqatan ham, bu shart bajarilsa, B2=4AC bo‘ladi va
Ax2 BxC Ax2 2 ACxC ( Ax C)2, ya‘ni Ax2 BxC ( Ax C)2 tenglamaga ega bo‘lamiz. Demak, y ni shunday tanlab olamizki, natijada
0 (4) shart bajarilsin, ya‘ni y ga nisbatan uchinchi darajali tenglama hosil bo‘ladi.
(4)shart bajarilsa, u holda (3)ning o‘ng tomoni to‘liq kvadratga aylanadi. (4)tenglamani yechib uning bitta ildizi y0 ni topamiz va uni (3)tenglamadagi y o‘rniga olib borib qo‘yamiz. U holda
(x+)2 (5)
tenglamani hosil qilamiz. (5) tenglamani yechganda quyidagi kvadrat tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi:
= x+ ,
- . (6)
ay0 c
Bu yerda by , 2 .
2
Bu sistemani yechib berilgan (1) tenglamaning barcha yechimlarini topamiz.
|
