II-BOB.Yuqori darajali tenglamalarning xususiy hollari
1-§. Kvadrat tenglama tushunchasi va uni yechish usullari
Ta’rif: Ushbu ax2+bx+с=0 ko'rinishdagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi, bunda x - o'zgaruvchi, a, b. c - berilgan sonlar (а 0). Agar а 1 bo'lsa tenglama to‗la kvadrat tenglama deyiladi. a, b, c sonlar kvadrat tenglamaning koeffitsiyentlari, c esa ozod had deyiladi.6
Kvadrat tenglamani ikkinchi darajali tenglama ham deb ataladi, chunki uning chap qismi ikkinchi darajali ko‗phaddan iborat.
O‗zgaruvchining kvadrat tenglamani to‗g‗ri sonli tenglikka aylantiradigan qiymatlari kvadrat tenglama ildizlari deyiladi.
Chala (to’liqmas) kvadrat tenglama. Agar
ax2+bx+c=0
kvadrat tenglamada b=0 yoki c=0 bo‗lsa, bunday tenglama chala (to'liqmas) kvadrat tenglama deyiladi. Chala kvadrat tenglamalar:
1) aх2+с = 0; 2) ax2 + bx = 0; 3) aх2=0.
Bu turdagi tenglamalarning yechilishini qarab chiqamiz:
ax2+c = 0
c
x1,2 , agar 0 bo’lsa,
a
ildizga ega emas,agar c 0 bo’lsa, a
x1 0,
ax2+bx=0 x(ax+b) = 0 b
x2 ;
a
ax2=0 x2 = 0 [x=0.
Misо11ar. Ushbu tenglamalarni yeching:
1)x2-2 = 0; 2)x2 = 9; 3)4x2 + 6x = 9x2-15x; 4) 2x2 + 4 = 0.
Yechilishi:
Javob:.
Javob:-3;3.
Javob:0;4,2.
tenglamaning ildizlari yo‘q,chunki
kvadrati -2 ga teng son mavjud emas.
Javob: tenglama yechimga ega emas.
To‘la kvadrat tenglamani yechish. Ushbu ax2+bx+c=0 (a0)
tenglamani yechamiz: ax2+bx+c=0 x2 b x c 0 a a
Bu tenglamada ikkihadning to‘la kvadratini ajratamiz:
x2 b x c 0
a a
Hosil bo‘lgan tenglamaning о‘ng qismidagi kasrning maxraji musbat bo‘lganligi sababli uning ildizlari soni b2-4ac ifodaning ishorasi bilan bog‘liq. Bu ifoda ax2+bx+c=0 tenglamaning diskriminanti deyiladi. Uni D harfi bilan belgilanadi:
D=b2-4ac.
Diskriminantga bog‘liq bo‘lgan uchta hol bo‘lishi mumkin.
1 . Agar D > 0 bo‘lsa, u holda
Shunday qilib, D>0 bo‘lsa, kvadrat tenglama ikkita haqiqiy x1 va x2, ildizlarga ega va ular
formula bilan topiladi.
Agar D=0 bo‘lsa, u holda
Demak, tenglama bitta ildizga ega. Bunday holda tenglama bir-biriga teng x ikki ildizga ega ham deyiladi.
Agar D < 0 bo‘lsa, u holda
tenglamaning o'ng qismi manfiy bo‘ladi va u haqiqiy ildizga ega bo‘lmaydi. 1-misol. 3x2+2x-2=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = b2-4ac=4+24=28 > 0;
Javob:
2-misol. 25x2-30x+9=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = (-30)2-4925 = 900-900 = 0;
Javob:
3-misol. 2x2–4x+3=0 tenglamani yeching.
Yechilishi. D = (-4)2 – 423 = 16-24 = -8
Javob: tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.
4-misol. x2-2ax+a(1 + a)=0 tenglama a ning qanday qiymatlarida bitta haqiqiy ildizga ega bo‘ladi?
Yechilishi. Berilgan kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo‘lishi uchun uning diskriminanti 0 ga teng bo‘lishi kerak:
D = 4a2 – 4a( 1 + a) = 0 => 4a2 - 4a-4a2=0 => -4a=0 => a= 0. Javob: 0.
Keltirilgan kvadrat tenglama. Agar x2 oldidagi koeffitsiyent 1 ga teng bo‘lsa, bu tenglama keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. Keltirilgan kvadrat tenglama umumiy holda
x2+px+q=0
ko'rinishda yoziladi, bunda p va q - berilgan sonlar.
Keltirilgan kvadrat tenglamani ax2+bx+c=0 to‘la kvadrat tenglamada a=1, b = p, c = q bo‘lgan xususiy hol deb qarash mumkin. Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlari
formula bilan topiladi. Bu yerda diskriminant D = p2-4q.
Agar D > 0 bo‘lsa, keltirilgan kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega.
Agar D=0 bo‘lsa, keltirilgan kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga ega.
Agar D < 0 bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo‗q.
Har qanday ax2+bx+c=0 tenglamani uni a ga bo‘lish yo‘li bilan keltirilgan kvadrat tenglamaga keltirish mumkin:
ax2 + bx + c = 0 <=> x2 b x c 0
a a
Agar keltirilgan kvadrat tenglamaning p koeffitsiyenti juft son bo‘lsa, uning ildizlarini
formula bilan topish qulay.
Viyet teoremasi
Teorema. Agar keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, bu ildizlarning yig‘indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan x oldidagi koeffitsiyentga, ularning ko‘paytmasi esa shu tenglamaning ozod hadiga teng, ya ’ni x2+px+q=0 tenglamada D=p2-4q > 0 bo’lsa,
Masalan, x 2-7x-8=0 tenglama uchun D=49 + 32 = 81 > 0;
Umumiy aх2+bx+с=0 kvadrat tenglama uchun Viyet teoremasi quyidagicha yoziladi:
Viyet teoremasiga teskari teorema. Agar x1+x2=-p va x1x2=q tengliklarni qanoatlantiruvchi x1 va x2 haqiqiy sonlar mavjud bo‘lsa, bu sonlar x2+px+q = 0 keltirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi.
Masalalar yechishda Viyet teoremasi va unga teskari teorema tatbiqiga doir bir necha misollar ko‗ramiz.
|
