1. Koordinata tassavuri (.\>tassavuri) Bu tasavvurda
P impuls operatorini
ko‘rinishda olinadi va u
q - son qiymatiga ega boiadi,
x koordinata esa
oddiy
с son orqali belgilanadi. U holda (2.57) ning chap tomonini
yagona operator sifatida tanlab olish mumkin,
ifi esa bu operatoming
xususiy qiymati boiadi, ya ’ni
( xPx ~ Рхх ) Р ( х ) = i h p (x ). (6.45)
Ikkinchidan bir olcham li garmonik ossilyatoming Gamiltoniani
Й2 d 2 mw2 ,
H = ---------- - + ------X ' 2m dx ‘ 2 ko‘ rinishga ega ekanligi malum. Demak,
x - tasavvurida garmonik
ossilyatorining Shredinger tenglamasi
d 1 ( - B ... T + A x 2 )\j/ ( x ) = Ey/ ( x ) d x ' ko‘rinishga ega boiadi. Bu yerda
185
teng deb olinsa, hamda
kattaliklami kiritilsa, hamda А =
2
и +
1
tengligini eslasak,
E„ =йю(н + * ) ni hosil qilinadi. Garmonik ossilyatoming xususiy funksiyalari esa
(4.62) ga ko‘ ra
ga teng b oiadi va toiq in funksiyalariga qo‘yiladigan barcha talablarni
qanoatlantiradi. M aium ki kvant nazariyasining
asosiy prinsiplariga
binoan kuzatuvchi kattaliklar sifatida tekshirilayotgan kattaliklaming
tegishli operatorlarining o ‘ rtacha qiymatlari hisoblanadi. Xususan,
garmonik ossilyatoming misolida esa koordinata va impulslarning
matrik elementlari muhim ahamiyat kasb etadi. (6.47) ifodaga garmonik
ossilyatoming (6.46) dagi toiqin funksiyasini qo‘yilsa va
natijaga kelinadi. Endi asosiy vazifa (6.48) integralni hisoblashdan
iborat. Garmonik ossilyatoming masalasini yechganimizda maium
(6.46)
(6.47)
va
(6.48)
c, X . 2 ‘nl 7t v.
belgilash kiritilsa , biz matrik element uchun
(6.49)
2
2
с
4
+ 2 n IlH =
0
(6.50)
bo‘ ldiki, (4.42) differensial tenglamaning yechimlari «-darajali polinom
b oiish i uchun A = 2w + 1 qiymatga teng b oiish i kerak. Agarda
