Dioganal matritsalar ichida / birlik matritsa kvant mexanikasida
alohida o‘rin tutadi, ya’ni bu matritsada barcha dioganal boimagan
elementlar
nolga
teng boiib, dioganal elementlar esa birga teng
boiadi:
0 0 ... 1
V
)
birlik matritsa Kroneker belgisi bilan mos keladi.
Agarda A matritsadagi ustunlar va qatorlar o‘rinlar almashtirilsa, u
holda A - transponirlangan matritsani hosil qilgan boiamiz, ya’ni
bu yerdan ravshanki, agar A matritsa
mxn tartibga ega boisa , u holda
A matritsa
nxm tartibli boiadi.
Agarda A=A boisa , u holda A matritsa simmetrik matritsa deyiladi.
A matritsadagi barcha elementlaming kompleks qo‘shmasi olinsa, u
holda A matritsaga nisbatan A* kompleks qo‘shma matritsani hosil
qilgan boiamiz:
Agar A*=A boisa , u holda A matritsa haqiqiy matritsa deyiladi ,
chunki uning barcha elementlari haqiqiydir.
A+ matritsani A matritsadan hosil qilish uchun , avvalo A matritsani
transponirlash kerak, keyinchalik kompleks-qo‘shmasini
olish kerak,
ya’ni A matritsaga nisabatan Ermit qo‘shma matritsani hosil qidik:
Agarda A matritsa
mxn tartibga ega boisa, u holda
A +
matritsaning tartibi
nxm boiadi. Xususiy holda
/ = (/),* =5*
1 0 ... 0
0 1 ... 0
(6.9)
{A)jk = (A)lr
(6.10)
(
6
.
11
)
=[M) ,*]* = (<■
(
6
.
12
)
(6.13)
V
V, j
matritsa-ustunga
¥ + =(V'iV:
\,-Уп)
(6.14)
175
ermit qo‘shma matritsa-qator
mos keladi va nihoyat , agarda
A +=A
bo‘lsa , u holda A matritsa Ermit, yoki, o‘z-o‘ziga qo‘shma matritsa
deyiladi. Kvant mexanikasida bunday matritsalar ko‘p uchraydi.
6.2 Matritsa shakldagi Shredinger tenglamasining ko‘rinishi.
Kvant mexanikasidagi bir qator konkret fizik masalalar yechilganda
matritsa ko‘rinishdagi Shredinger tenglamasidan
foydalanish ancha
qulayliklarga olib keladi. Ushbu ko‘rinishdagi tenglamani yozish uchun
i|/(x,t) to‘Iqin funksiyasini
W„(x) funksiyalar bo‘yicha qatorga yoyish
kerak:
=
(6.15)
Agar (6.15) yoyilmani (3.3) tenglamaga qo‘yilsa natijada quyidagi
ifodani hosil qilgan bo‘lamiz, ya’ni
ih ч: X е» WV'- W =
(*)
(6.16)
n
n
Bu formuladagi
Й gamiltonian vaqtga oshkor ravishda bog’liq emasligi
eslansa, (6.16) ifodani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
‘h'ZV,: M
=
X
Cn (0Й(Х)УП
(X)
(6.17)
Hosil bo'lgan
tenglamaning ikkala tamonini wl,(x) ga ko‘paytirib, x
ning butun o‘zgarish sohasi bo‘yicha integrallansa va ifodaning chap
tomonida
funksiyalaming ortonormallashganligi xususiyatidan
foydalanilsa, u holda
m raqamli hadidan tashqari
barcha hadlar nolga
teng bo‘ladi, ya’ni
= Е Я ™С»(/)
(6.18)
tenglamaga ega bo‘lamiz, bu yerdagi
H -gamiltonian matritsasining
H mn elementi quyidagiga teng:
Hm
n = f (xW„(x)dx-
(6.
1
9)
Shunday qilib, (6.18) tenglama matritsa ko‘rinishdagi Shredinger
tenglamasi bo‘lib, boshlang’ich momentda berilgan cn(0) lar bo‘yicha
vaqtning keyingi momentlaridagi
cn(t) lami aniqlab beradi.
176
