5.6. V bobga oid savol va masalalar
Ushbu tenglamaningyechimi
X(r) = Asin(kr+a),
ko ‘rinishda bo lib, bu yerda A va a-integrallash doimiysi. >■
^ о da R(r)
funksiyaning chekliligidan,
a = o ga kelinadi. Chegaraviy shart
Д
sin
R(fj,) = 0
=
-----
1 dan krri=nn(bunda
n -
1,2,3,...,)
kelib chiqadi.
Г0
Demak,
170
2 mnr;
bo 'ladi. s holat uchun zarrachaning to ‘lqin funksiyasi
1
7tH
y„,o.o = i ? (r)7 0 o(0,
r
rn
ga teng.
Normallashtirish shartidan
r0 1
C ^A ni—
I r~
r
\
. 2 КП
sm — r
r'dr = 1
С doimiy topiladi:
U holda
v
0
/
С = { 2 к ф .
1
1 . ЯП
VI bob
KVANT M EXANIKASINING MATRITSA SHAKLI
6.1.
Matritsalar algebrasining asoslari
Avvalgi boblarda keltirib chiqarilgan kvant mexanikasining
hisoblash metodi, ya’ni chiziqli va ermit operatorlarning metodi, kvant
mexanikasida qollaniladigan yagona hisoblash metodi emas. 1925-
yilda M.Bom,V.Geyzenberg va P.Iordanlar kvant mexanikasida mavjud
boigan qarama-qarshiliklami bartaraf etishga erishdilar va kvant
nazariyasining yopiq sxemasini yaratishga muvaffaq boldilar. Ushbu
nazariyaning
asosiy
tenglamalari
3.5-paragrafda
ko‘rilgan
tenglamalarga o‘xshash boiib, ular oddiy son kattaliklar yoki
operatorlar yordamida ifodalanmasdan, balki matritsalar ko‘rinishida
berilgan. Shuning uchun Bom-Geyzenberg-Iordan nazariyasi matritsa
shaklidagi kvant mexanikasi deb ataladi.
Bir necha vaqt o‘tgach E.Shredinger mutlaqo boshqa tasavvurlardan
kelib chiqqan holda toiqin shaklidagi kvant mexanikasini asoslab berdi
va uning nazariyasini asosiy obyektlari boiib V|/-to1qin funksiyasi va
dinamik o‘zgaruvchilarga mos kelgan operatorlar tanlab olindi.
Keyinchalik, 1926-yilda E.Shredinger o‘zi bu ikki nazariyani bir-biriga
tola ekvivalent ekanligini ko‘rsatdi va matritsa shakldagi kvant
mexanikasidan
toiqin
shaklidagi
kvant
mexanikasiga
o‘tish
mumkinligini ko‘rsatib berdi, shuning bilan bir qatorda teskari o‘tishni
ham ifodalab berdi. Matritsa ko‘rinishdagi kvant mexanikasini
ifodalashdan avval, matritsalaming qisqacha matematik nazariyasi
ko‘rib chiqiladi.
Quyidagi jadvalni tashkil etuvchi kattaliklar to‘plamini A matritsa
deyiladi:
Umimiy holda jadvalda keltirilgan qatorlar va ustunlar sonlari bir-
biriga teng bolmasligi ham mumkin. Jadvalda keltirilgan har bir
kattalik matrik element deyiladi va ikkita indeks bilan belgilanadi.
172
Birinchi indeks qatoming tartib raqamini bildirsa, ikkinchisi esa
ustunning tartib raqamini ifodalaydi. Umuman olganda, matritsalar
haqida
tushuncha
rc-oichovli
fazodagi
vektorlaming
chiziqli
almashtirishi natijasida kiritiladi. Kvant mexanikasida uch xil tipdagi
matritsalar bilan ish yuritiladi:
I) nxn tartibli kvadrat matritsalar:
f Ax 4, "• A ,'
A,.
A =
a
2, A22
(
6
.
2
)
A„{ An2 ■
■
■
A,
2) bitta ustunga ega boigan их 1 tartibli matritsa-ustunlar:
V
'v O
V2
v
j
(6.3)
3) bitta qatorga ega boigan lxw tartibli matritsa-qatorlar
Ф = (Ф]) = {¥1,¥г>-’У'п)
(6-4)
bilan ish yuritiladi.
Birinchi tipdagi matritsalar Evklid fazosidagi chiziqli operatorlami
ifodalaydi, ikkinchichilari esa shu fazodagi vektorlami va nihoyat
uchinchi tipdagi matritsalar kompleks qo‘shma fazodagi vektorlami
belgilaydi.
Endi bevosita matritsalar bilan bajariladigan algebraik operatsiyalar
ustida to‘xtab o‘taylik.
Ikkita matritsa teng matritsalar deyiladi, agarda ulaming tartiblari
bir biriga teng boisa va ulaming tegishli matrik elementlari ham o‘zaro
teng boisa. Masalan, 2x2 tartibli ikkita A va В matritsalar uchun A= В
tenglik
an — bj j ? 0^2 ^]2 )
^21 > ^22 ^22
tengliklami anglatadi.
Ikkita teng tartibli A va В matritsalarning yig’indisi deb, shu
tartibdagi shunday С = A+B matritsaga aytiladiki, bunda
C\
'A j k + B jk
(6.5)
boiadi.
173
Matritsalaming ko‘paytmasi murakkab operatsiya hisoblanadi.
Masalan, m xn tartibli A matritsani n x l tartibli В matritsaga
ko‘paytmasi deganda shunday
mxl
tartibli
C = AB matritsa
tushuniladiki, bu hosil boigan С matritsaning i, j indeksli elementi A
matritsaning
i-qatorining barcha elementlarini В matritsaning j-
ustunining barcha
elementlariga ketma-ket ko‘paytmalarining
yig’indisiga teng bo‘ladi, ya’ni
С у — У, AjlcBk,
|
