6.6. Taqsimot egri chiziqlari
Agarda variatsion qator va uning gistogrammasini tuzish asosidagi belgi uzluksiz o‘zgaruvchanlikka ega bo‘lsa, guruhiy oraliqlar kengligini cheksiz toraytirib ularning sonini ko‘paytirish va bir vaqtda to‘plam hajmini ko‘paytirib bo‘sh oraliqlarni to‘ldirib borish mumkin. Natijada ustunlar soni o‘zining chegarasi - uzluksiz egri chiziqqa intiladi va u taqsimot egri chizig‘i deb ataladi. Bir qancha tipik taqsimot egri chiziqlari mavjud. Masalan, simmetrik, asimmetrik (og‘ishma), qo‘ng‘iroqsimon, J-shaklidagi, U-shakldagi va ularning turli ko‘rinishidagi taqsimot egri chiziqlari bor.
Odatda tasodifiy kuchlar ta’siri ostida shakllangan taqsimot simmetrik egri chiziq shakliga ega bo‘ladi. Uyushtirilgan biror omil yoki harakatlar ta’siri natijasida yuzaga chiqqan taqsimotlar asimmetrik shakllarni oladi. Simmetrik egri chiziqning muhim xususiyati uning Nyuton binomi formulasi bo‘yicha qatorga yoyilish xossasiga egaligidan iborat.
6.7. Variatsion qatorning taqsimot parametrlari
Taqsimot qatorlari o‘rganilayotgan statistik to‘plam haqida to‘la tasavvur beradi. Ammo bu tasavvur odatda haddan tashqari mufassallashgan bo‘lib, ko‘pdan-ko‘p ikir-chikirlarga, mayda-chuyda tavsilotlarga ega bo‘ladi. Natijada to‘plamning asosiy xossalarini ilg‘ab olish mushkullashadi. Shu munosabat bilan ularni bir nechagina miqdorlar bilan ifodalash masalasi tug‘iladi. Bu esa taqsimot qatorlarini qisqartirib, umumiy holda ta’riflash imkoniyatini beradi. Bunday miqdorlar statistik to‘plamning tasviriy parametrlari yoki taqsimot qatorlarining umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlari deb ataladi.
Parametr grekcha so‘z («parametrom») bo‘lib, o‘lchab beruvchi degan lug‘aviy ma’noga ega. Statistikada har xil to‘plamlarni ta’riflovchi parametrlarni aniqlash deganda taqsimot qatorlarining shunday me’yoriy o‘lchovlari, ko‘rsatkichlari nazarda tutiladiki, ularni solishtirish bu statistik to‘plamlarni taqqoslash yo‘li bilan birday oqibatga olib keladi.
Statistik to‘plamlarni taqqoslash ularning birliklarini tekislab, orasidagi farqlarni yo‘qotib, to‘plamlarni umumlashtirib ta’riflaydigan parametrlardan foydalanishni talab etadi. Shunday qilib, turli statistik to‘plamlarni taqqoslash ularning o‘rtacha ko‘rsatkichlarini hisoblash va qo‘llashni taqozo etadi. Bu o‘rtacha miqdorlar taqsimot qatorlarining asosiy parametrlaridan biri hisoblanadi. Ammo qatorni har taraflama o‘rganish uchun boshqa parametrlarni ham bilish va qo‘llash zarur.
Yuqorida ta’kidlaganimizdek, statistik to‘plam birliklari bir-biridan odatda farq qiladi. Shamolsiz daraxt shoxi tebranmaganidek, bu farqlarni ham yuzaga chiqaruvchi sabablar mavjud. Ular ayrim birliklarni namoyon bo‘lish sharoitiga, harakatdagi omil va kuchlarga, ularning ta’sir etish qudratiga bog‘liq. Demak, taqsimot qatorlarining tebranishi alhaq jarayonni tasvirlaydi, uning oqibati hisoblanadi. Ammo o‘rtacha miqdorlar statistik to‘plamni bir butun organizm sifatida ta’riflaydi, birliklarning shakllanish shart-sharoitlarini barobarlashtirib, ulardagi o‘ziga xosliklarni yashiradi. Shuning uchun turli statistik to‘plamlarni qiyosiy o‘rganishda o‘rtacha ko‘rsatkichlarni taqqoslash bilan chegaralanib bo‘lmaydi, chunki bu holda to‘plamlarning bir jihati oydinlashadi, ammo ikkinchi tomoni esa qorong‘ulashadi. Mazkur qorong‘u masalani yoritish uchun taqsimot qatorlarining o‘zgaruvchanligini o‘rganish, uning me’yorlarini, ya’ni variatsiya ko‘rsatkichlarini aniqlash va qiyosiy tahlil qilish kerak.
Taqsimot qatorlari tekislikda egri chiziqlar ko‘rinishida tasvirlanadi. Ularning shakllari xilma-xil: simmetrik yoki asimmetrik, chapga yoki o‘ngga og‘ishgan, biroz yonboshlagan yoki kuchli qiyshaygan, bo‘yiga cho‘ziq (o‘tkir uchli) yoki yassi (yapaloq uchli), bir yoki ko‘p cho‘qqili va h.k. Shunga qarab, variatsion qatorlarning o‘rtacha miqdori uni tasvirlaydigan koordinat tizimda abssissa o‘qining markaziy nuqtasida yoki undan ma’lum olislikdagi chap yoki o‘ng tomon nuqtasida yotadi.Shu bilan bir qatorda taqsimot egri chizig‘ining shakli bilan bog‘liq bo‘lgan variatsion qatorning mediana, moda kvantililar kabi parametrlari mavjud. Mediana qatorni teng ikki qismga, kvantililar esa ko‘zlangan qadamda uni teng bo‘laklarga ajratadi. Moda - to‘plam birliklarida eng ko‘p uchraydigan belgi qiymati (qatorning eng ko‘p vaznli variantasi). Bu parametrlar variatsion qatorning tuzilmaviy o‘rta ko‘rsatkichlari deb ataladi. Ular bilan o‘rtacha miqdor o‘rtasida ma’lum bog‘lanish mavjud. Bunga asoslanib, qatorning og‘malik, bo‘yiga cho‘ziqlik, uning ma’lum qismda birliklar kontsentratsiyalanish (to‘planish) me’yorlarini aniqlash mumkin. Shunday qilib, statistik to‘plam xususiyatlari taqsimot qatorlarining uch toifadagi umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlarida o‘z ifodasini topadi. Ular variatsion qatorning tasviriy parametrlari nomi bilan ham yuritiladi.
Asosiy tushuncha va atamalar
Variantalar va variantlar, miqdoriy belgi, atributiv belgi, muqobil belgi, uzluksiz o‘zgaruvchan belgi, tadrijiy (uzlukli) o‘zgaruvchan belgi, statistik qatorlar, taqsimot qatorlari, dinamika qatorlari, saflangan variatsion qatorlar, oraliqli variatsion qatorlar, diskret variatsion qatorlar, kumulyativ variatsion qatorlar, oraliq (guruhlar) soni, oraliq kengligi, sterjess mezoni, K.Bruks va N.Karuzes mezoni, teng kenglikli oraliq, tengmas kenglikli oraliq, taqsimot zichligi, gistogramma, poligon, kumulyata, ogiva (og‘ishma), taqsimot egri chizig‘i, taqsimot parametrlari;
Qisqacha xulosalar
Ommaviy hodisa va jarayonlar to‘plam sifatida statistik tekshirish bosqichlarida turli jihatdan qaraladi. Statistik kuzatish bosqichida ular kuzatish obyekti, ya’ni mustaqil birliklar to‘plami deb qaraladi. Bu holda o‘rganilayotgan obyektni yondosh obyektlardan farqlovchi xossalarni aniqlash, ularning birliklarni to‘g‘ri ta’riflash va ma’lumotlar to‘planishi zarur bo‘lgan belgilar ro‘yxatini ilmiy asoslash muhim ahamiyat kasb etadi. Ammo statistik kuzatish bosqichida to‘plam tuzilishiga e’tibor berilmaydi.
To‘plangan ma’lumotlarga ishlov berish, ularni ma’lum tartibga keltirish va tahlil qilish bosqichida to‘plamning tuzilishi, qanday unsurlarni (elementlarni), birliklarni qamrab olishi muhim masala hisoblanadi
Statistik to‘plamlar alohida-alohida olib qaralganda bir-biridan farq qilsa ham, ammo sifatan (mohiyatan) jinsdosh va o‘zaro uzviy bog‘langan, umumiy qonuniyatlarga bo‘ysunuvchi birliklar (hodisalar) majmuasidir. Bular to‘plamni bunyod etuvchi unsurlar, uning birliklari deb ataladi.
Statistik to‘plam tuzish, demak, uning tarkibiy qismlarini, birliklarini aniqlashdir. Bu jarayonda ikkita masala yechiladi: birinchidan, birliklar aniq ta’riflanadi, ularning mohiyati yoritiladi, boshqa yondosh birliklardan ajratuvchi chegaralari belgilanadi; ikkinchidan muayyan to‘plamga mansub va mansub bo‘lmagan birliklar aniqlanadi. Bu holda masala ma’lum belgi yoki belgiga qarab yechiladi va statistik qatorlar yaratiladi. Demak, statistik to‘plam statistik qatorlarda o‘zining aniq ifodasini topadi.
Shunday qilib, statistik to‘plamni ta’riflashda o‘rganilayotgan hodisalarga sifat, mohiyat jihatidan yondashilsa, statistik qatorlarni belgilashda esa ular miqdor tomonidan qaraladi. Hodisalar miqdorini ularni ayni holatda yoki ma’lum vaqt oralig‘ida kuzatib aniqlash mumkin. Shunga qarab statistik qatorlar taqsimot va dinamika qatorlariga bo‘linadi. Taqsimot qatorlari esa hodisalarni oddiy saflangan qatorlari ko‘rinishida, miqdoriy yoki atributiv belgilari asosida guruhlarga taqsimlangan shakllarda bo‘lishi mumkin. Variatsion qatorlari esa , o‘z navbatida, uzluksiz yoki uzlukli o‘zgaruvchan belgilarga qarab tuzilib diskret va oraliqli qatorlarga bo‘linadi.
Nazorat va mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar
Statistik to‘plam birligi deganda nima tushuniladi?
Statistik qator deganda nima tushuniladi?
Statistik qatorlarning qanday turlari mavjud?
Miqdoriy belgi nima? Uni muqobil holda ifodalab bo‘lmadi-mi?
Atributiv belgi nima? Uning o‘zgaruvchanligi qanday ifodalanadi?
Muqobil belgi nima? U qanday ifodalanadi?
Uzlukli va uzluksiz o‘zgaruvchan belgi nima?
Taqsimot qatori deganda qanday qator tushuniladi? Varianta va variant nima? Ular o‘rtasidagi farqni misollar bilan tushuntirib bering.
Saflangan qator nima? U qanday tuziladi? Uning variantasi va variantlarini misollarda tushuntirib bering.
Diskret qator nima? U qanday tartibda tuziladi? Aholining yoshi bo‘yicha taqsimoti diskret qatorga misol bo‘la oladimi? Ko‘chadan o‘tayotgan mashinalar qatori-chi?
Universitet talabalarining akademik guruhlar bo‘yicha taqsimotini oraliqli qator deb bo‘ladimi?
Oraliqli qator nima? U qanday tartibda tuziladi? Uning variantasi qanday ifodalanadi?
Qatorlarning variantlari qanday shakllarda ifodalanadi?
Kumulyativ qator nima? U qanday tuziladi?
Siz fanlardan test topshirib bilim ballarini to‘playapsiz. Bu qanday qatorga misol bo‘la oladi?
Taqsimot zichligi deganda nima tushuniladi, u qanday aniqlanadi?
Teng kenglikli oraliqlar soni qanday aniqlanadi? Tengsiz-chi? Oraliq kengligi qanday shakllarda bo‘ladi va qanday tartibda aniqlanadi?
Gistogramma nima? Poligon-chi?
Kumulyata va ogiva deganda nima tushuniladi?
Taqsimot egri chiziqlari nima va qanday vujudga keladi?
Simmetrik qator nima? Asimmetrik-chi?
Asimmetrik taqsimotning qanday shakllarini bilasiz. Bozor iqtisodiyotida qandaylari ko‘proq uchraydi.
Normal taqsimot nima? Uning qonuni qanday ifodalanadi?
Empirik taqsimot nazariy normal taqsimotga mosligini qanday tartibda aniqlash mumkin?
Bir turdagi materiallardan dumaloq shakldagi koptoklar (bir qancha) yasalgan, ularni diametri bo‘yicha guruhlanganda simmetrik taqsimot olingan. Agarda ularni og‘irligi bo‘yicha guruhlasak qanday shakldagi taqsimotga ega bo‘lamiz. Og‘irrroq koptoklar tomonga qiyshaygan taqsimot bo‘lishini isbotlab bering.
Savdoda kichik va o‘rta biznes rivoj topishi quyidagi ma’lumotlar bilan ta’riflanadi
Sotuvchilar soni
|
1
|
1-3
|
3-5
|
5-10
|
10-20
|
20-30
|
30-50
|
50-80
|
Do‘konlar soni
|
20
|
30
|
50
|
100
|
150
|
130
|
80
|
30
|
1 sotuvchi savdo hajmi, ming so‘m
|
50
|
60
|
75
|
100
|
130
|
125
|
135
|
120
|
Ma’lumotlarni diagramma shaklida tasvirlang? Taqsimot qanday shakldaligini tushuntirib bering. U normal taqsimot qonuniyatiga bo‘ysunadimi?
Sigir podasining bir haftada bir sigirdan olingan sut hajmi bo‘yicha taqsimoti simmetrik shaklga ega. Agarda bir sigirdan olingan sariyog‘ bo‘yicha bu podaning taqsimoti chap yoqlama og‘uvchanlikka ega bo‘lsa, sababini tushuntirib bering.
Nikohlangan yigit-qizlarning yoshi bo‘yicha taqsimoti o‘ng yoqlama qiyshaygan taqsimotga ega. Yosh yigit-qizlar nikohdan o‘tish uchun odatda yoshini kattalashtirib ko‘rsatishga intiladi va bu hol taqsimotga qanday ta’sir ko‘rsatadi?
Ayollar odatda yoshini kichiklashtirib, erkaklar kattalashtirib ko‘rsatishga harakat qiladilar. Aholi ro‘yxati ma’lumotlariga binoan ayol va erkaklarning yoshi bo‘yicha taqsimot shakliga bunday intilish qanday ta’sir ko‘rsatadi?
Tangani 6, 10, 50, 100 marta chirillatib tepaga otib tashlang. Har gal gerb tomoni tushishini qayd qiling. Olingan natija bo‘yicha taqsimot qatori tuzing va uni qiyosiy tahlil qiling.
Talabalarni stipendiyasi bo‘yicha taqsimot qatori tuzib bo‘ladimi? Bo‘lsa, u qanday shaklga ega bo‘ladi. Guruhingiz va fakultetingiz misolida tuzib ko‘ring. Natijani diagrammada tasvirlang.
Asosiy adabiyotlar
Ефимова Н.В. Практикум по общей теории статистики. 2-изд. – М.: Финансы и статистика, 2006 – 336 с.
Хартли Алик. Статистика. Первая книга: пер. С англ.; Под ред. О.Э.Башиной. – М.: Финансы и статистика, 2004 – 312 с.
Соатов Н.М. Статистика. Дарслик. –Т.: Тиббиёт нашриёти, 2003 226-256 б.
И.Г.Венецкий. Вариационные ряды и их характеристики. М.: Статистика, 1970.
VII bob. O‘RTACHA MIQDORLAR VA O‘RTA TUZILMAVIY KO‘RSATKICHLAR
7.1. O‘rtacha miqdorlarning mohiyati va ahamiyati
Kundalik hayotimizda, turmushimizda o‘rtacha miqdorlarni har qadamda uchratamiz va qo‘llaymiz, ammo odatda o‘rtacha so‘zining o‘zini iboramizda kam ishlatamiz. Masalan, qancha ish haqi olayapsiz degan savolga oyiga shuncha so‘m deb javob qilamiz. Aslida hamma oylarda o‘sha miqdorda ish haqi olayotganimiz yo‘q, bu yerda ham o‘rtacha oylik ish haqi nazarda tutilyapti.
Xo‘sh, o‘rtacha miqdor nima va u qanday xususiyatlarga ega? O‘rtacha miqdorlarning qanday turlari va shakllari mavjud? Degan savollar tug‘ilishi tabiiydir.
Umumiy holda o‘rtacha miqdor taqsimot qatorini siqib ixchamlash-tirish jarayonida olingan miqdordir. U qatorning katta va kichik hadlari o‘rtasida yotadi
Masalani soddalashtirish uchun statistik qatorni yon bag‘ridan siqib asta-sekin ixchamlashtirayotirmiz, deb faraz qilaylik. Bu holda uning variantalari orasidagi miqdoriy farqlar yoqala borib, ular yiriklashadi, soni esa kamayadi. Shuning hisobiga qator variantlarining soni ko‘payadi. Ixchamlashtirish jarayonini davom ettiraversak, pirovard natijada qator variantasi bir miqdor bilan ifodalanadi. Variantlar soni esa boshlang‘ich qatorning jamlama soniga teng bo‘ladi. Ana shu miqdor ushbu qatorning o‘rtacha miqdoridir. U qatorning eng katta va eng kichik miqdorlari o‘rtasida yotadi. Bu yerda statistik qator deganda sof matematik qator, ya’ni musaffo sonlar qatori nazarda tutiladi. Bu sonlar na sharoitga va na bir-biriga bog‘liq, to‘liq erkinlikka ega.
Statistik qatorlar matematik sonlar qatoridan tubdan farq qiladi. Ular moddiy dunyo hodisalarini ta’riflovchi ko‘rsatkichlar qatoridir, miqdoriy qiymatlari esa hodisalarining yuzaga chiqish sharoitlariga bog‘liq.
O‘rtacha statistik to‘plamni umumlashtirib ta’riflovchi ko‘rsatkichdir
Shunday qilib, o‘rganilayotgan statistik to‘plamni o‘zgaruvchan belgilari bo‘yicha umumlashtirib ta’riflaydigan ko‘rsatkichlar o‘rtacha ko‘rsatkichlar (miqdorlar) deb ataladi. O‘rtacha miqdorlar variatsion qatorlarning muhim tasviriy parametri sifatida quyidagi xossalarga ega (7.1. tarh).
7.1-tarh. O‘rtacha miqdorlarning muhim xususiyatlari.
O‘rtacha miqdor qator miqdorlaridan tafovutda bo‘ladi, ulardan chetlanadi
O‘rtacha miqdorni hisoblash katta sonlar qonuni amal qiladigan ommaviy jarayon singari amaldir. Muayyan taqsimot qatorining variantalari birin-ketin bir biriga qo‘shib (birlashtirilib) boriladi. Natijada katta-kichik miqdorlar bir-biriga ta’sir etib, birikib o‘zaro siyqalanadi. Ular o‘rtasidagi farqlar o‘zaro yoyishib yo‘qola boradi. Pirovard oqibatda qator tekislanadi, uning variantalari miqdoran barovarlashib ma’lum o‘rtacha daraja bilan ifodalanadi. Demak, o‘rtacha miqdorlarning xususiyati yana shundan iboratki, ular qator unsurlarning bir-biridan ajratib turuvchi xossalarini nazardan soqit qiladi, ulardan doimo abstraktsiyalanadi.
O‘rtacha o‘z funksiyalarini to‘la va aniq bajarish uchun bir qator talablarga javob berishi kerak.
O‘rtacha miqdor o‘zining funksiyalarini to‘la va aniq ado etishi uchun quyidagi shart-sharoitlar mavjud bo‘lishi lozim:
- o‘rtacha miqdori aniqlanadigan to‘plam bir jinsli, hajm jihatdan yetarli sonda bo‘lishi kerak;
o‘rganilayotgan to‘plam birliklariga tegishli belgining miqdoriy qiymatlari bo‘yicha ularning taqsimoti yetarli darajada hodisaga xos obyektiv taqsimot qonuniyati bilan hamohang bo‘lishi zarur. Bu talab katta sonlar qonuni amal qilishidan kelib chiqadi.
Qatorning ichki qonuni statistik to‘plamning tub xossalari o‘rtasidagi zaruriy o‘zaro tub bog‘lanishlarni ifodalaydi va o‘rtacha miqdorni shakllantiradi. Sharoit esa tasodifiy kuchlar sifatida sabab bilan natijaga ta’sir ko‘rsatadi va qator miqdorlari o‘rtachadan turlicha tafovutlarda bo‘lishiga olib keladi. Pirovard oqibatda qator variantalarining ayrim miqdoriy qiymatlari va taqsimot qonuniyatlari asosiy ichki sabablar bilan tashki sharoitning tasodifiy kuchlari birgalikda amal qilishi va o‘zaro ta’siri natijasida shakllanadi. Katta sonlar qonuni amal qilishi sababli tasodifiyat ta’siri ostida bu miqdorlar orasida yuzaga chiquvchi tafovutlar bir-birini o‘zaro yeyishtiradi va o‘rtachada o‘zaro barovarlashgan tendensiya, qonuniyat namoyon bo‘ladi.
Haqiqatda ham, agarda asosiy ichki sabablar ta’sirida vujudga kelgan ayrim miqdorlar qiymatini Xai va tasodifiy sabablar natijasini  deb belgilasak, u holda qator hadlarining ayrim miqdorlari 
Bundan:
|
