• 2.2-masala.
  • Yechish.
  • 2.2. Standart ko’rinishdagi masalani simpleks usulda yechish
  • Sh. A. Saipnazarov biznes matematika




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish
    bet12/73
    Sana11.07.2024
    Hajmi3,82 Mb.
    #267361
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   73
    Bog'liq
    Biznes matematika

    Teorema. 
    Tenglamalar sistemasining barcha ozod hadlari nomanfiy bo„lsa, 
    u holda simpleks almashtirishdan so„ng ham sistemaning ozod hadlari nomanfiy 
    bo„lib qoladi. 
    Isbot. 
    Aytaylik, (2.2.2) ning 
    j –
    nchi ustunida musbat element bo„lsin. bu 
    element 
    0

    ij
    a
    bo„lsin va 
    ij
    i
    a
    b
    /
    nisbat ozod hadlarni o„zlariga mos musbat 
    elementlariga nisbati ichida eng kichigi bo„lsin. 
    ij
    a
    ni aniqlovchi element sifatida 
    qabul qilamiz. Keyingi jadvalga o„tamiz (2.2.3): 
    Bazis o„zgaruchilar 
    n
    j
    x
    x
    x
    x


    2
    1
    Ozod 
    hadlar 
    mn
    m
    m
    in
    i
    i
    n
    n
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a
    a






























    0
    1
    0
    0
    2
    1
    2
    1
    2
    22
    21
    1
    12
    11
    m
    i
    b
    b
    b
    b






    2
    1
    (2.2.3) 
    Bunda 
    ij
    i
    i
    a
    b
    b


    . Ammo 
    0
    ,
    0


    ij
    i
    a
    b
    , shuning uchun 
    0


    i
    b
    . Har qanday 
    boshqa 
    i
    b

    elementni qaraymiz.
    i
    ij
    ij
    i
    ij
    ij
    i
    i
    ij
    i
    b
    a
    a
    b
    a
    a
    b
    b
    a
    b





    Agar 
    0

    ij
    a
    bo„lsa, u holda 
    0


    i
    b
    . Agar 
    0

    ij
    a
    bo„lsa, u holda 
    i
    b

    ni 
    quyidagicha qaraymiz. 


    22 











    ij
    i
    ij
    i
    ij
    i
    a
    b
    a
    b
    a
    b
    .
    Teorema shartiga ko„ra 
    ij
    i
    ij
    i
    a
    b
    a
    b

    , demak 
    0


    ij
    i
    ij
    i
    a
    b
    a
    b
    va demak, 
    0


    i
    b
    .
    Shuni isbotlash talab etilgan edi. Shunday qilib, agar ozod hadlari musbat 
    bo„lgan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda simpleks almashtirish bajarilsa, 
    u holda hosil qilingan bazis yechim nomanfiy bo„ladi (agar sistemaning nomanfiy 
    bazis yechimi mavjud bo„lsa). Aslida simpleks almashtirishni ketma – ket amalga 
    oshirish natijasida biz quyidagi sistemaga kelamiz. 

















    0
    0
    1
    0
    ,
    0
    1
    0
    1
    1
    1
    0
    1
    ,
    1
    1
    m
    n
    mn
    m
    mn
    m
    m
    n
    n
    m
    m
    b
    x
    a
    x
    a
    x
    b
    x
    a
    x
    x
    a
    x

















    Bu yerdan ma‟lumki, 
    n
    m
    x
    x
    ,
    ,
    1


    larni nolga teng deb olib 


    0
    0
    ,
    ,
    0
    0
    1


    m
    b
    b
    bazis 
    yechimga ega bo„lamiz. 
    Agar hech bo„lganda bitta nomanfiy bazis cheim topilgan bo„lsa, u holda 
    simpleks almashtirish yordamida boshqa nomanfiy bazis yechimga o„tiladi (agar u 
    bor bo„lsa). 
    2.1-masala.
    Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasining barcha nomanfiy 
    yechimlarini toping: 
















    7
    5
    2
    8
    3
    2
    3
    2
    3
    5
    4
    3
    5
    4
    2
    5
    4
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Yechish. 
    barcha ozod hadlarni nomanfiy holga keltiramiz. 
















    7
    5
    2
    8
    3
    2
    3
    2
    3
    5
    4
    3
    5
    4
    2
    5
    4
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Dastlabki jadvalni tuzamiz. Hal qiluvchi element sifatida 4-nchi ustundan 3 
    ni tanlaymiz: 







    2
    7
    ;
    2
    8
    ;
    3
    3
    min
    3
    3


    23 
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    5
    4
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    (1) 


    2
    x
    2
    3
    0
    0
    1


    3
    2
    0
    1
    0

    5
    2
    1
    0
    0




    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    5
    4
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    (2) 

    2
    4
    x
    x
    3
    2
    1
    0
    0
    3
    1


    3
    5
    0
    0
    1
    3
    2

    3
    19
    0
    1
    0
    3
    2




    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    5
    4
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    (3) 
    1
    2
    4
    x
    x
    x
    2
    5
    1
    2
    1
    0
    0

    8
    0
    1
    1
    0

    2
    19
    0
    2
    3
    0
    1

    2
    15
    1
    2
    7
    Nomanfiy bazis yechimga ega bo„ldik. 






    0
    ;
    2
    7
    ;
    0
    ;
    1
    :
    2
    15
    qolgan nomanfiy bazis yechimlarni topamiz. 
    (3) nchi jadvaldan 5-nchi ustunning 
    2
    19
    elementini olish yoki 3-chi ustundan 1 ni 
    olish ham mumkin.
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    5
    4
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    (4) 
    5
    2
    4
    x
    x
    x
    0
    1
    19
    2
    0
    19
    5


    0
    0
    19
    5
    1
    19
    16

    1
    0
    19
    3
    1
    19
    2

    19
    15
    19
    139
    19
    29
    Bazis yechim: 






    19
    15
    ;
    19
    29
    ;
    0
    ;
    19
    139
    ;
    0

    Keyingi bazis yechimni topish uchun (3) jadvaldan 1 ni hal qiluvchi element qilib 
    olamiz. 
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    5
    4
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    (5) 
    1
    2
    4
    x
    x
    x
    2
    3
    1
    0
    2
    1
    0

    8
    0
    1
    1
    0

    2
    5
    0
    0
    2
    3
    1

    9
    1
    4


    24 
    Bazis yechim: 


    0
    ;
    4
    ;
    1
    ;
    0
    ;
    9

    (4) va (5) jadvaldan ko„rinib turibdiki, boshqa bazis yechim yo„q. 
    2.2-masala. 
    Ushbu chiziqli tenglamalar sistemasining barcha nomanfiy 
    bazis yechimlarini toping. 









    10
    5
    3
    2
    1
    3
    2
    1
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Yechish. 
     
     
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 


    1
    1
    1

    5
    3
    2
    10
    1
     
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 

    1
    x
    1
    1
    1

    3
    5
    0
    8
    1
     
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    2
    1
    x
    x
    5
    8
    0
    1
    5
    3
    1
    0
    5
    8
    5
    13
     







    0
    ;
    5
    8
    ;
    5
    13
    1
    x
    Bazis 
    o„zgaruvchilar 
    3
    2
    1
    x
    x
    x
    Ozod hadlar 
    2
    3
    x
    x
    1
    0
    8
    5
    0
    1
    8
    3

    8
    5
    5
    13
     







    8
    13
    ;
    8
    5
    ;
    0
    2
    x
    boshqa bazis yechim yo„q. 


    25 
    2.2. Standart ko’rinishdagi masalani simpleks usulda yechish 
    Simpleks metodni birinchi bo„lib 1949 yilda amerikalik olim D.Dansig 
    tomonidan kiritilgan. Uning asosiy g„oyasi 1939 yilda sovet olimi 
    L.V.Kantorovich tomonidan ishlab chiqilgan. 
    Simpleks metod yordamida har qanday chiziqli programmalashtirish 
    masalasini yechish mumkin, ya‟ni bu metod universal metod hisoblanadi. Hozirgi 
    paytda bu metoddan kompyuter hisoblarda foydalaniladi, ba‟zan oddiy masalalarni 
    qo„lda, simpleks usulni qo„llab yechish mumkin. 
    Simpleks metodni amalga oshirishda uchta asosy elementni o„zlashtirish 
    lozim: 
    1)
    Boshlang„ich joiz bazis yechimni topish usulini aniqlash; 
    2)
    Yaxshi yechimga o„tish (yomon bo„lmagan) qoidasini o„zlashtirish; 
    3)
    Topilgan yechimni optimallik kriteriyasini tekshirish. 
    Simpleks metoddan foydalanganda chiziqli programmalashtirish masalasi 
    kanonik holga keltirilishi kerak, ya‟ni o„zgaruvchilarga qo„yilgan cheklov shartlari 
    tenglamalar ko„rinishida bo„lishi lozim. 
    Simpleks usulda hisoblash algoritmini misollarda ko„ramiz. 
     
    Chiziqli funksiyani maksimumini izlash 
    2.1-misol. Ushbu masalani simpleks usulda yeching. 
    max
    3
    2
    0
    ,
    0
    21
    3
    5
    16
    2
    18
    3
    2
    1
    2
    1
    1
    2
    2
    1
    2
    1











    x
    x
    F
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Yechish. 
    Nomanfiy 
    qo„shimcha o„zgaruvchilarni kiritib, standart 
    ko„rinishdagi masalani kanonik ko„rinishida yozib olamiz. 
    Bu masalada barcha tengsizliklar 
    "
    "

    ko„rinishda bo„lganligi uchun 
    yordamchi o„zgaruvchilarning barchasi “plyus” ishorada kiritiladi. 
    Cheklov tengsizliklarini quyidagi ko„rinishda yozamiz: 
    0
    3
    2
    21
    3
    5
    ,
    16
    2
    ,
    18
    3
    2
    1
    6
    1
    5
    2
    4
    2
    1
    3
    2
    1













    x
    x
    F
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    Boshlang„ich bazis yechimlarni topish uchun o„zgaruvchilarni ikki guruhga 
    ajratamiz – bazis va bazis bo„lmagan o„zgaruvchilar. 
    Bizning misolda 
    6
    5
    4
    3
    ,
    ,
    ,
    x
    x
    x
    x
    larni bazis o„zgaruvchi qilib olamiz, chunki bu 
    o„zgaruvchilar faqat bitta tenglamada ishtirok etmoqda. 
    Simpleks jadvalini tuzamiz. 


    26 
    2.2.1-jadval 
    BU 
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    4
    x
    5
    x
    6
    x
    OH 
    3
    x






    18 
    4
    x






    16 
    5
    x







    6
    x
     






    21 
     
    x
    F
     
    -2 
    -3 





    BU – bazis o„zgaruvchi, OH – ozod had.
    Boshlang„ich bazis yechim 


    21
    ;
    5
    ;
    16
    ;
    18
    ;
    0
    ;
    0
    1

    X
    bu yechim joiz yechim.

    ning qiymatini oshirish uchun 
    1
    x
    va 
    2
    x
    o„zgaruvchilarning katta 
    koeffitsientlarini tanlaymiz. Demak, 
    2
    x
    koeffitsienti tanlanadi. Aniqlovchi 
    elementni belgilaymiz. 
    5
    ;
    1
    5
    ;
    1
    16
    ;
    3
    18
    min
    2









    x
    5
    x
    ni bazisdan chiqaramiz va bazisga 
    2
    x
    ni kiritamiz. 
    2.2.2-jadval 
    BU 
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    4
    x
    5
    x
    6
    x
    OH 
    3
    x




    -3 


    4
    x




    -1 

    11 
    2
    x







    6
    x
     






    21 
    F
     
    -2 





    15 


    21
    ,
    0
    ,
    11
    ,
    3
    ,
    5
    ,
    0
    2

    x
    Aniqlovchi elementi o„rnida 1 hosil qilib, undan boshqa shu ustundagi 
    barcha elementar nolga aylantiriladi. 2.2.2-jadvalning oxirgi satri, birinchi ustunda 
    – 2 bo„lganligi uchun, shu ustun aniqlovchi ustun bo„ladi. 
    3
    3
    21
    ;
    ;
    2
    11
    ;
    1
    3
    min
    1









    x
    3
    x
    o„zgaruvchi o„rniga 
    1
    x
    bazisga kiradi.
    2.2.3-jadval 
    BU 
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    4
    x
    5
    x
    6
    x
    OH 
    1
    x




    -3 


    4
    x


    -2 




    2
    x







    6
    x
     


    -3 



    12 
    F
     




    -3 

    21 


    27 
    Hosil qilingan yechim ham optimal emas, 


    12
    ,
    0
    ;
    5
    ;
    0
    ;
    5
    ;
    3
    3

    x
    chunki maqsad 
    funksiya koeffitsientlarida bitta manfiy element – 3 bor.
    Keyingi jadvalga o„tamiz,
    1
    9
    12
    ;
    5
    ;
    5
    5
    min
    5








    x
    bazisga 
    5
    x
    kiradi. Aniqlovchi element 5 uning o„rnida 1 hosil qilamiz va shu ustun 
    elementlarini (aniqlovchi elementdan boshqa) nolga aylantiramiz. 
    2.2.4-jadval 
    BU 
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    4
    x
    5
    x
    6
    x
    OH 
    1
    x


    5
    1

    5
    3



    5
    x


    5
    2

    5
    1



    2
    x


    5
    2
    5
    1




    6
    x
     


    5
    3
    5
    9




    F
     


    5
    4
    5
    3


    24 
    Optimallik sharti bajarildi, oxirgi satrda maqsad funksiya o„zgaruvchilari oldidagi 
    koeffitsientlar ichida manfiylari qolmadi. (2.2.4-jadval) 
    Maqsad funksiya bazis bo„lmagan o„zgaruvchilar orqali 
    4
    3
    5
    3
    5
    4
    24
    x
    x
    F



    bog„landi. Optimal yechim 


    3
    ;
    1
    ;
    0
    ;
    0
    ;
    4
    ;
    6
    *

    X
    24
    max

    F
    Demak, optimallik kriteriyasini umumiy holda bayon qilish mumkin. agar 
    masalada chiziqli funksiyaning maksimum izlanayotgan bo„lsa, chiziqli funksiya 
    bazis bo„lmagan o„zgaruvchilar orqali ifoda etilganda ularning koeffitsientlpri 
    ichida musbat elementlar, u holda bazis yechim optimal bo„ladi. 

    Download 3,82 Mb.
    1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   73




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish