6.1-rasm.
2
x
1
x
C
4
4
A
70
Maqsad funksiyaning sath chizig„i, burchak koeffitsiyentlari -2 ga teng
bo„lgan, parallel to„g„ri chiziqlardan iborat. Global minimum
O
(0,0) nuqtada,
global maksimum esa – sath chizig„i va aylana tutashgan
A
nuqtada yotadi.
A
nuqta
orqali sath chizig„iga perpendikulyar bo„lgan to„g„ri chiziq o`tkazamiz. Bu to`g`ri
chiziqning burchak koeffitsiyenti ½ ga teng, tenglamasi esa
2
1
/ 2
х
х
dan iborat
bo„lib, u koordinatalar boshidan o„tadi.
Ushbu tenglamalar sistemasi hosil bo„ladi
1
2
2
2
2
1
16,
/ 2.
x
x
х
х
Bundan quyidagini hosil qilamiz
5
4
5
/
5
4
/
5
16
max
,
5
/
5
4
,
5
/
5
8
2
1
X
F
x
x
Demak, global minimum nolga teng bo„lib, u
O
(0, 0) nuqtada erishadi. Global
maksimum
4 5
ga teng bo„lib, u
8 5 / 5, 4 5 / 5
А
nuqtada erishadi.
Misol.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
1
2
1
2
1
2
2
12,
9,
0,
0
x
x
х
х
x
x
maqsad funksiyaning
2
2
1
2
2
3
L
x
x
global ekstremumini toping.
Yechish
. Bu masalada mumkin bo„lgan yechimlar to„plami
OABD
ko„pburchakdan iborat (6.2-rasm). Sath chizig`i, markazi
1
О
nuqtada bo„lgan
aylanadan iborat. Maqsad funksiya maksimal nuqtasiga
D
(9; 0) nuqtada, minimal
qiymatiga
1
2; 3
О
nuqtada erishadi.
6
.2 – rasm.
Bunda
2
2
9 2
0 3
58
L D
.
Demak, global maksimum
max
58
L D
, minimum nuqtasi esa
min
0
L D
teng ekan.
Misol.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
1
2
1
2
1
2
2
3
14,
3
2
15
0,
0
x
x
х
х
x
x
2
2
1
2
6
3
L
x
x
funksiyaning global ekstremumini toping.
Yechish
. Bu masalada mumkin bo„lgan yechimlar to„plami
OABD
ko„pburchakdan iborat (6.3-rasm). Sath chizig„i, markazi
1
6; 3
О
nuqtada bo„lgan
2
x
1
0
1
x
A
0
B
71
aylanadan iborat. Global maksimum
1
О
nuqtadan eng uzoq bo„lgan
O 0;0
nuqtada yotadi. Global minimum esa,
1
2
3
2
15
х
х
to„g„ri chiziq va unga
1
О
nuqtadan o„tkazilgan perpendikulyar kesishadigan,
E
nuqtadan iborat.
6.3-rasm
E
nuqtaning koordinatalari quyidagicha topiladi:
1
2
3
2
15
х
х
to„g„ri
chiziqning burchak koeffitsiyenti -3/2 ga teng. Shuning uchun
1
О E
perpendikulyarning burchak koeffitsiyenti 2/3 ga teng.
1
О
nuqtadan o„tuvchi
to„g„ri chiziqning burchak koeffitsiyenti 2/3 ga teng va uning tenglamasi
quyidagicha bo„ladi:
2
1
2
3
6
3
х
х
, bundan
1
2
2
3
3
х
х
.
Tenglamalar sistemasidan
1
2
1
2
2
3
3,
3
2
15
x
x
х
х
E
nuqtaning
koordinatalari
topiladi:
1
2
;
51 / 13;21 / 13
х х
,
bunda
min
1053 / 169
L E
.
Misol.
Quyidagi chegaraviy shartlarda
1
2
2
2
1
2
16,
0,
0
x
x
x
x
2
2
1
2
2
1
L
x
x
funksiyaning global ekstremumini aniqlang.
Yechish
. Masalaning mumkin bo„lgan yechimlar sohasi birinchi chorakda
yotuvchi, radiusi 4 ga teng bo`lgan doiradan iborat (6.4 rasm). Sath chizig„i,
markazi
1
2;1
О
nuqtada bo„lgan aylanalardan iborat.
Funksiya global minimumga
1
О
nuqtada
2
2
min
2
2
1 1
0
L
,
global maksimumga esa A(0; 4) nuqtada erishadi, ya`ni
.
Demak, funksiya global minimumga
1
2;1
О
nuqtada erishib nolga teng, global
maksimumga esa A(0; 4) nuqtada erishib 17 ga teng bo„lar ekan.
2
x
1
O
2
x
A
0
B
E
D
72
6.4-rasm. 6.5-rasm.
Misol.
2
2
1
2
L
x
x
funksiyaning global ekstremumlarini quyidagi
boshlang„ich shartlarda aniqlang
1 2
1
2
1
2
1
2
4,
5,
7,
6,
0,
0
x x
х
х
x
x
x
x
Yechish
. Ko„rilayotgan masalaning mumkin bo„lgan yechimlar sohasi
qavariq bo„lmasdan, u ikki qismdan iborat (19.5 rasm). Sath chizig`i, markazi
O
(0; 0) nuqtada bo`lgan aylanalardan iborat.
Quyidagi sistemani yechib
A
va
B
nuqtalarning koordinatalarini topamiz
1 2
1
2
4,
5
x x
х
х
.
Bundan
A
(1; 4),
B
(4; 1) ni hosil qilamiz. Bu nuqtalarda maqsad funksiya
global minimumga erishadi, ya`ni
2
2
2
2
1
2
min
1,4
1
4
17
L
x
x
,
2
2
2
2
1
2
min
4,1
4
1
17
L
x
x
.
Demak,
A
(1; 4),
B
(4; 1) nuqtalarda, maqsad funksiyaning global minimumi
17 ga teng bo„lar ekan. Quyidagi sistemani yechib
D
va
E
nuqtalarning
koordinatalarini topamiz
1 2
1 2
2
1
4,
4,
6
7
x x
x x
х
х
Bundan esa
D
(2/3,6) va
E
(7; 4/7) nuqtalarni topamiz. Bu nuqtalarning har
birida maqsad funksiyaning qiymatlarini aniqlaymiz
2
2
2
2
1
2
2
328
6
3
9
L D
x
x
,
2
2
2
2
1
2
4
2417
7
7
49
L Е
x
x
.
Demak, maqsad funksiya ikkita global ekstremumga ega bo„lib, u
min
17
L D
, global maksimumga esa
E
(7;4/7) nuqtada erishib
2417
max
49
L Е
bo„lar ekan.
2
x
1
x
6
0
7
D
A
B
E
2
x
1
x
1
0
0
73
6.2. Shartli ekstremum
Shartsiz chiziqsiz programmalashtirish masalasi va uni yechish usuli.
Agar chiziqsiz programmalashtirish masalasida
1
2
,
,...,
max
n
f x x
x
(6.1)
noma`lum o„zgaruvchilarga shartlar qo„yilmasa, u holda bu masala
shartsiz
chiziqsiz programmalashtirish masalasi
deyiladi. Bu masala vektor ko„rinishda
quyidagicha bo„ladi
max
f X
(6.2)
ya`ni,
n
X
R
. Bu masala
chiziqsiz programmalashtirishning shartsiz maksimal
masalasi
deyiladi.
Bu shartsiz chiziqsiz programmalashtirish masalaning ekstremal qiymatlarini
aniqlashni, ko„p o„zgaruvchili funksiyaning differensial hisobi mavzusida ko„rib
o„tgan edik. Bunga ko`ra, bu kabi funksiyalarning ekstremum qiymatlari, ikkinchi
tartibli xususiy hosiladan tuzilgan Gesse matrisasining musbat yoki manfiy
aniqlanganligidan iborat bo„lib, bu esa o„z navbatida Silvestr usulii bilan topilar
edi.
Shartli
chiziqsiz
programmalashtirish
masalasi.
Lagranj
ko
„
paytuvchilar usuli.
Chiziqli programmalashtirish masalasi berilgan bo„lsin
min
max
,...,
,
2
1
n
x
x
x
f
X
F
(6.3)
1
2
,
, ...,
0,
1,
.
i
n
g x
x
x
i
m
(6.4)
Faraz qilamiz, funksiyalar
1
2
,
, ...,
n
f x
x
x
,
1
2
,
, ...,
0,
1,
i
n
g x
x
x
i
m
o„zlarining uzluksiz birinchi tartibli hosilalariga ega bo„lsin.
Chegaraviy masalalar tenglamalar ko`rinishida berilgani uchun, masalani
yechish uchun, ko`p o`zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumini topish
usulidan foydalanamiz.
Masalani yechish uchun Lagranj funksiyasi tuziladi
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
, ...,
,
,
, ...,
,
, ...,
,
, ...,
m
n
m
n
i
n
i
F x x
x
f x x
x
g x x
x
(6.5)
So`ngra, uning birinchi tartibli xususiy hosilalari aniqlanadi
1,
,
1,
j
i
F
F
j
n
i
m
x
Bu hosilalarni nolga tenglashtirib quyidagi sistema hosil qilinadi
1
1
2
0,
1,
,
,
, ...,
0,
1,
m
i
i
i
j
j
j
i
n
i
g
F
f
j
n
x
x
x
F
g x x
x
i
m
(6.6)
Sistemani yechib,
X
F
funksiyaga ekstremal qiymat beruvchi nuqtalar
to„plami topiladi.
74
(6.5) funksiya,
Lagranj funksiyasi
,
i
- sonlar
Lagranj ko`paytuvchilari
deyiladi. Agar
1
2
,
, ...,
n
L x
f x
x
x
funksiya
0
0
0
0
1
2
,
, ...,
n
X
x
x
x
nuqtada
ekstremumga ega bo„lsa, u holda shunday
0
0
0
0
1
2
,
, ...,
m
vektor topiladiki,
bunda
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
,
, ...,
,
,
, ...,
n
m
x
x
x
nuqta (19.3.6) sistemaning yechimi bo„ladi.
Demak, (19.3.6) sistemani yechib,
L x
funksiyaga ekstremal qiymatlar
beruvchi nuqtalar to„plami hosil qilinadi. Bu nuqtalardan foydalanib funksiyaning
global ekstremum qiymatlarini aniqlash mumkin.
Lagranj
1
2
1
2
,
, ...,
, ,
, ...,
n
m
F x x
x
funksiyasining ikkinchi tartibli to„la
differensiali quyidagicha beriladi
2
2
2
2
2
1
2
n
i
i
j
i
i j
i
i
j
F
F
d F
dx
dx dx
x
x x
. (19.3.7)
Bu formuladagi
2
dx
yozuv,
dx
ning kvadratini ifodalaydi, ya`ni
2
2
dx
dx
.
2
d F
formulaning ishorasini aniqlash uchun,
dx
va
dy
ifodalar orasidagi
munosabatni ham aniqlash zarur. Bu (19.3.7) formuladan ko„rinib turibdiki,
1,
i
i
m
o`zgaruvchilar bo`yicha xususiy hosilalar mavjud emas. Stasionar
nuqtada
1,
i
g i
m
funksiyaning to„la differensiali nolga teng:
1
2
1
2
...
0
1,
i
i
i
i
n
n
g
g
g
dg
dx
dx
dx
i
m
x
x
x
.
Lagranj ko`paytuvchilar usuli asosida masalani yechish etaplari
:
1. Lagranj funksiyasi tuziladi
1
2
1
2
1
2
1
2
1
,
, ...,
,
,
, ...,
,
, ...,
,
, ...,
m
n
m
n
i
n
i
F x x
x
f x x
x
g x x
x
2. Lagranj funksiyasidan barcha o„zgaruvchilar bo„yicha(19.3.6) xususiy
hosila topilib, nolga tenglashtiriladi. Hosil bo„lgan tenglamalar sistemasini yechish
natijasida, barcha stasionar nuqtalar topiladi.
3. Lagranj funksiyasining ikkinchi tartibli to„la differensiali tuziladi va uning
ishorasi har bir stasionar nuqtada aniqlanadi. Agar
1
2
,
, ...,
n
x
x
x
stasionar nuqtada
2
0
d F
shart bajarilsa, bu stasionar nuqta lokal maksimum, aksincha esa, ya`ni
2
0
d F
bo„lsa, lokal minimum bo`ladi.
Misol.
Funksiyaning shartli ekstremum nuqtasini toping
2
2
1 2
2
L x
x x
x
chegaraviy shartda:
1
2
5
x
x
Yechish
. Lagranj funksiyasi tuziladi
2
2
1
2
1 2
1
2
,
,
2
5
F x x
x x
x
x
x
.
Lagranj funksiyasining xususiy hosilalarini aniqlaymiz
75
2
1
1
2
2
1
2
2
0,
2
2
0,
5
0.
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x
Bu tenglamalar sistemasining yechimi
10
3
da
10 5
,
3
3
x
.
Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini aniqlaymiz
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
0,
2
2
2,
2
2.
x
x
x
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x x
Bu stasionar
10 5
,
3
3
x
nuqtani ekstremumga tekshiramiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
0
2
4
2
4
F
F
F
d F
dx
dx
dx dx
dx
dx
dx dx
dx
dx dx
x
x
x x
Endi
2
d F
ning ishorasini aniqlash uchun stasionar nuqtalarning xossasidan
foydalanamiz,
1
2
5
g
x
x
belgilash olib
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
5
5
0
x
x
g
g
d
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
dx
x
x
.
Demak,
1
2
dx
dx
, bundan esa
2
2
2
2
2
2
2
2
4
6
0
d F
dx
dx dx
dx
.
Demak,
10 5
,
3
3
x
nuqta berilgan funksiyaning maksimum nuqtasi ekan
2
10 5
5
25
max
2
3 3
3
3
L x
.
Masalani ikkinchi usul bilan hisoblaymiz
.
Ushbu simmetrik matrisadan foydalanib masalaning optimal yechimini
aniqlaymiz
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
0
x
x
F
F
A
x
x
x x
F
F
x
x x
x
.
Agar stasionar nuqtada
0
A
bo„lsa, berilgan funksiya bu nuqtada
minimumga erishadi aksincha esa, ya`ni
0
A
bo„lsa, maksimumga erishadi.
76
A
matrisani,
10 5
,
3
3
x
nuqta uchun yozib olamiz
Bunda
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
0
5
1,
0 1
1
1
0
2
5
1.
1
2
2
x
x
g
g
x
x
g
x
x
x
g
F
F
A
g
x
x
x x
x
x
x
g
F
F
x
x x
x
.
0
1
1
1
0
2
6
0
1
2
2
A
.
Demak,
6
0
A
bo`lgani uchun,
10 5
,
3
3
x
nuqta berilgan funksiyaning
maksimum nuqtasi bo„lar ekan, bundan esa
2
10 5
5
25
max
2
3 3
3
3
L x
.
Misol.
Un kombinati unni ikki turda sotadi: magazinlarga chakana savdo
orqali va savdo agentlari orqali ulgurji savdo tarzida sotadi.
x
1
kg unni
magazinlarda sotganda
x
1
2
pul birligi miqdorida xarajat bo„ladi,
x
2
kg unni savdo
agentlari orqali ulgurji savdo tarzida sotganda
x
2
2
pul birligi miqdorida xarajat
bo„ladi.
Agar har sutkada 5000 kg un sotishga qo`yilsa, uni sotish xarajati minimal
bo`lishi uchun, qancha kilogramm unni, qanday turda sotishni aniqlash talab
etiladi.
Yechish
. Masalaning matematik modeli tuziladi. Quyidagi chegaraviy
shartlarda
1
2
1
2
5000,
0,
0
x
x
x
x
xarajatlarning minimum yig„indisini aniqlash talab etilsin
1
2
2
2
L x
x
x
.
Matematik modelni yechish uchun Lagranj ko„paytuvchilar usulidan
foydalaniladi. Lagranj funksiyasi tuziladi:
1
2
2
2
1
2
1
2
,
,
5000
F x x
x
x
x
x
.
Lagranj funksiyasi
F
dan
1
2
,
x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va
parametr
bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi tenglamalar
sistemasi hosil qilinadi:
77
1
1
2
2
1
2
2
0
2
0
5000
0
F
x
x
F
x
x
F
x
x
bunda
1
2
5000,
2500
,
2500
x
кг x
кг
.
1
2
2
2
2
2
2500
2500
12500000
L x
x
x
sum.
O„zgaruvchi
1
x
ga 2500 dan katta va kichik qiymatlar berib, ta`rifga asosan
L x
ning ekstremal qiymati minimum ekanligi aniqlanadi.
Demak, sutka davomida, xarajatlarning minimalligini ta`minlash uchun
magazin va savdo agentlari orqali 2500 kg unni sotish kerak ekan. Bunda, sotish
xarajatlari 12 500 000 pul birligidan iborat bo„lar ekan.
Misol.
Funksiya shartli ekstremum nuqtasini toping
2
2
2
1
2
3
min max
L x
x
x
x
chegaraviy shartlarda:
1
2
3
1
2
4
2
3
12
x
x
x
x
x
Yechish
. Lagranj funksiyasi tuziladi
2
2
2
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
4
2
3
12
F
x
x
x
x
x
x
x
x
Lagranj funksiyasi
F
dan
1
2
3
,
,
x x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va
1
2
,
parametrlar bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi:
1
1
2
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
3
1
1
2
2
2
2
0
2
3
0
2
0
4
0
2
3
12
0
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x
Bundan
1
2
3
72
28 32
,
,
,
,
, min
19,37
19
19 19
x x x
L x
.
Misol.
Funksiya shartli ekstremum nuqtasini toping
1 2
2 3
L x
x x
x x
78
chegaraviy shartlarda:
1
2
2
3
2
2
4.
x
x
x
x
Yechish
. Lagranj funksiyasi tuziladi
1
2
3
1
2
1 2
2 3
1
1
2
2
2
3
,
, , ,
2
2
4
F x x x
x x
x x
x
x
x
x
Lagranj funksiyasi
F
dan
1
2
3
,
,
x x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va
1
2
,
parametrlar bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi:
2
1
1
1
3
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
1
0
0
2
0
2
0
2
4
0
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
Bundan
1
2
3
2,
4,
4, min
8
х
x
x
L x
.
Stasionar
nuqtani
ekstremumga
tekshiramiz.
Soddalik
uchun
o„zgaruvchilarni yo„qotish orqali ikkita tenglamadan iborat boshlang`ich shartni,
bitta tenglamadan iborat boshlang„ich shartga o„zgartiramiz. Buning uchun
boshlang„ich shartdagi birinchi tenglamadan
2
x
o„zgaruvchini topib, ikkinchi
tenglamaga va maqsad funksiyasiga qo„ysak quyidagi holat bo„ladi
1
2
1 2
2 3
1
1
1
3
1 3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
3
1
3
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
4.
2
6.
2
2
4.
L x
x x
x x
L x
x x
x
x
L x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Lagranj funksiyasi tuziladi
1
2
1
3
1 3
1
3
1
3
, ,
2
2
2
6
F x x
x
x x
x
x
x
x
Lagranj funksiyasi
F
dan
1
3
,
x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va
parametr
bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi tenglamalar
sistemasi hosil qilinadi:
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
2
2
0
2
2
0
2
2 2
0
2 2
0
2
2
6
0
4.
2
6
0
F
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
79
Bundan
2, 4
M
stasionar nuqtani aniqlaymiz. Bu nuqtani ekstremumga
tekshiramiz. Buning uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilani aniqlaymiz
1
3
3
2
1
3
2
1
2
1
2
3
2
1
3
1
3
2
2
2,
2 2
0,
2
2
1.
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
F
x
x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
2
2
1
3
1
3
2
2
0
2
2
2
F
F
F
d F
dx
dx
dx dx
dx
dx
dx dx
dx
dx dx
x
x
x x
.
Endi
2
d F
ning ishorasini aniqlash uchun stasionar nuqtalarning xossasidan
foydalanamiz,
1
3
2
6
g
x
x
belgilash olib
1
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
3
1
3
2
6
2
6
2
0
x
x
g
g
dg
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
dx
x
x
.
Demak,
1
3
2
dx
dx
, bundan esa
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
0
2
dx
d F
dx
dx
dx
dx
dx
.
Demak, stasionar
2, 4
M
nuqta maqsad funksiyasining minimum nuqtasi
bo„lar ekan
1
2
2
1 3
1
3
2
2
2
2 4 2
2
2 4
8
L x
x
x x
x
x
.
Bundan esa berilgan masalaning ekstremal qiymati quyidagicha bo„ladi
1 2
2 3
2
1
1
2
3
2
2
3
8
2
4
4 4
2
,
,
2, 4, 4
2 2.
2
4.
L x
x x
x x
L x
L x
x
x
x x x
x
x
x
|
