Qavariqlikka tekshirishning Silvestr usuli

92 
2
,
1
,
4
,
6
2
,
5
4
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1





















x
F
x
x
F
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalardan tashkil topgan matritsa









2
1
1
4
A
Uning asosiy minoralari 
0
7
2
1
1
4
det
,
0
4
4
2
1











A
. 
Demak, Silvester kriteriyasiga ko„ra 
F 
funksiya qat‟iy qavariq bo„ladi (barcha 
x 
larda).
2)




2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
/
3
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
4
1
,
4
1
4
2
,
4
1
,
2
,
2
1
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x
x
x
x
Z
x


























Ikkinchi tartibli xususiy matritsasi quyidagidan iborat. 
;
4
1
4
1
4
1
4
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
0
16
1
16
1
det
,
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1







x
x
x
x
A
x
x
x
Shunday qilib, 
Z 
funksiya qavariq bo„ladi 
0
,
0
2
1


x
x
, ammo qat‟iy qavariq emas.
7.3. Qavariq progrmmalsh masalasining geometrik talqini 
 
Aytaylik, 


m
i
b
x
x
x
i
n
i
,...,
2
,
1
,
,...,
,
2
1



(7.6) 
Tengsizliklar sistemasi va 


n
x
x
f
Z
,...,
1

funksiya berilgan bo„lsin, bunda 
 
x
i

qandaydir 
M 
qavariq to„plamda qavariq, 
Z 
funksiya esa 
M 
to„plamda qavariq 
yoki botiq funksiya.
Qavariq programmalashtirish masalasining quyilishi: (7.6) 
shartni 
qanoatlantiruvchi tengsizliklar sistemasini shunday yechimlarini topish lozimki, bu 
Z 
funksiya o„zining minimum qiymatiga yoki 
Z 
botiq funksiya o„zining maksimum 
qiymatiga ega bo„lsin. 
Har 
qanday 
chiziqli 
programmalashtirish 
masalasi 
qavariq 
programmalashtirish masalasining xususiy holi hisoblanadi. Umumiy holda 
qavariq programmalashtirish masalasi chiziqsiz programmalashtirish masalasi 
hisoblanadi.
Agar 
Z 
maqsad funksiya qat‟iy qavariq (qat‟iy botiq) va (7.6) sistemaning 
yechimlar sohasi bo„sh to„plam bo„lmasa va chegaralangan bo„lsa, u holda qavariy 
programmalashtirish masalasi har doim yagona yechimga ega bo„ladi. 
Bunday holda qavariq funksiya minimumga (botiq funksiya maksimumga) 
yechimlar sohasining ichki nuqtasida erishadi, agar ichki nuqtada statsionar nuqta 

93 
mavjud bo„lsa, yechimlar sohasining chetki nuqtasida ekstremumga ega bo„ladi, 
agar yechimlar sohasining ichki nuqtasida stansionar nuqta mavjud bo„lmasa. 
7.3-misol. 
Ushbu qavariq programmalashtirish masalasini geometrik talqin 
yordamida yeching. 













0
,
0
,
2
,
2
,
4
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
shartlarni qanoatlantiruvchi 

 

2
1
2
2
1
1
2
x
x
x
Z





funksiyaning minimumini 
toping. 
Yechish. 
Masalaning joiz topamiz: 
1)
4
2
2
2
1


x
x
markazi koordinata boshida radiusi 
2

R
bo„lgan aylanani 
yasaymiz. 
4
2
2
2
1


x
x
tengsizlikning yechimlar to„plami aylananing ichki va aylana 
ustidagi nuqtalardan iborat bo„ladi. 
2)
2
1
2
x
x

to„g„ri chiziqni ikki nuqtasi masalan (0;0) va (2;1) orqali yasash 
mumkin. 
2
1
2
x
x

tengsizlikning yechimlar to„plami – bu to„g„ri chiziqni ustidagi 
nuqtalar va undan yuqoridagi nuqtalar to„plamidan iborat bo„ladi.
3)
1
2
2
x
x

to„g„ri chiziqni yasaymiz, masalan (0;0) va (1;2) nuqtalar yordamida 
1
2
2
x
x

tengsizlikning yechimlar to„plami bu to„g„ri chiziq ustidagi kuqtalardan 
iborat bo„ladi. O„zgaruvchilarni nomanfiyligini hisobga olsak, berilgan masalaning 
yechimlar sohasi 
OAB 
yopiq sektordan (7.2-rasm) iborat bo„ladi.
7.2-rasm. 
Endi 
Z 
sath chizig„ini yasaymiz va 
Z 
funksiyaning kamayish yo„nalishini 
aniqlaymiz. Sath chizig„ining tenglamasi 
C
Z

, ya‟ni

 

3
.
2
1
1
2
2
2
1






C
C
x
x
bo„lsa

 

1
1
1
2
2
2
1




x
x
- bu markazi (1;1) nuqtada, radiusi 
1

R
bo„lgan aylanadan 
iborat. Ravshanki, 
1
O
markazdan uzoqlashgan nuqtalarda sath chizig„i 
Z 
o„sadi, 
markazga tomon sath chizig„ini ko„chirsak funksiya kamayadi. Shunday qilib, 
Z
2
x
2
A
B
1
x
2
1
2
x
x

1
2
2
x
x

1
0
0
1

94 
funksiyaning minimumi 
 
1
;
1
1
O
nuqtada 
2
min

Z
 
1
;
1
nuqta 
Z 
funksiyaning 
stansionar nuqtasi ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin. 
Mustaqil yechish uchun masalalar 
 
1.
 
Quyidagi funksiyalarni qavariqlikka tekshiring:
1)
0
,
2


x
x
y
2)
2
1
2
x
x
e
Z


3)
2
2
2
1
5
x
x
Z



4)
1
2
1
2
x
x
x
Z



5)
0
,
0
,
1
1
2
1
2
1





x
x
x
x
Z
2.
 
Qavariq programmalashtirish masalasini geometrik talqin yordamida 
yeching.
1)
max
2
0
,
0
1
;
4
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2















x
x
Z
x
x
x
x
x
x
2) 




min
2
2
3
0
,
0
15
3
16
4
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
















x
x
Z
x
x
x
x
x
x

95 
 VIII-bob. Foizlar 
8.1. Oddiiy, murakkab va uzluksiz foizlarda jamg’arish 
 
Faraz qilaylik, 
P
pul mablag„i 
i
foiz stavkasi bilan 
T
muddatga 
investitsiya qilingan bo„lsin. Demak, investor berilgan muddat oxirida o„zining 
P
miqdoridagi mablag„ini va asosiy mablag„ning 
i
foiz stavkasi bo„yicha olingan 
foizlaridan keladigan foydani oladi. Oddiy foizlar ushbu formula yordamida 
hisoblanadi: 
T
i
P
I



(8.1) 
bunda 

I
oddiy foizlar, 

P
asosiy investitsiya mablag„i, 

i
berilgan 
muddatdagi foiz stavkasi, 

T
foiz stavkasiga mos muddat. 
Agar (8.1) formulada
i
yillik foiz stavkasini ifodalasa, 
T
davr yillarda 
ko„rsatilishi kerak. 
1 – misol
. 300 ming so„m olti oyga kreditga ushbu stavkada berilgan: a) 
oyiga 3%; b) yiliga 6%. Shu pulga nisbatan muddat oxirida oddiy foizlar topilsin.
Yechish. a) 
9
03
,
0
300



I
ming so„m; b) 
9
2
1
06
,
0
300




I
ming so„m. 
Agar

P
asosiy mablag„ (bank omonati, kredit va boshqalar), 

I
muddat 
oxirida bu mablag„ga investitsiya qilingan foizlar bo„lsa, u holda, 
I
P
S


(8.2) 
dastlabki 
P
mablag„ning jamg„arilgan qiymati deb yuritiladi. 
)
1
(
iT
P
S


(8.3) 
formula esa oddiy foiz formulasi deyiladi. 
T
i
T
a



1
)
(
(8.4) 
kattalik esa o„sish koeffitsiyenti yoki ko„paytuvchi deb nomlanadi. (1.1.3) va 
(8.4) dan 
)
(
T
a
P
S


(8.5) 
(8.3) yoki (8.5) formuladan ko„rinib turibdiki, jamg„arilgan mablag„
S
ning 
qiymati
T
davrga bog„liq, ya‟ni vaqtning funksiyasidir. Bu funksiya chiziqli 
funksiya bo„lib, uning grafigi 8.1 – rasmda tasvirlangan.
8.1-rasm. 
0 1 2 3 T 
S 
S
3
S
2
S
1 
P=S
0 

96 
(8.1) – (8.3) formulalar oddiy foizlarning asosiy tenglamalari deb yuritiladi. Ular 
beshta 
T
i
I
S
P
,
,
,
,
kattaliklar bilan bog„langan. Birinchi uchta kattalikdan boshqa 
barcha uchta kattalikning berilishi boshqa kattaliklarni bir qiymatli aniqlaydi. 
Ularning har biri (8.1) – (8.3) tenglamalarni yechish bilan amalga oshiriladi. 
2-misol
. Ssuda uchun uch oyga berilgan 100 ming so„mning foizi 12 ming 
so„mni tashkil etsa, yillik foiz stavkasi qanday? 
Yechish: 
12

I
ming so„m, 
100

P
ming so„m, 
,
4
/
1
12
/
3


T
(8.1) 
tenglamadan
48
,
0
4
/
1
100
12





T
P
I
i
yoki
%.
48

i
3-misol
. Har bir yarim yilda bank yiliga 5% li omonat bo„yicha 50 ming 
so„m to„laydi. Bankka qo„yilgan pul miqdori qancha? 
Yechish. 
50

I
ming so„m,
,
05
,
0

i
2
/
1

T
. (8.1) tenglamadan
000
2000
2
/
1
05
,
0
50





T
i
I
P
so„m, ya‟ni
2

P
mln. so„m. 
4-misol
. Bankka qo„yilgan 200 million so„m pul uchun 20% dan to„lansa, 
uning miqdori ikki marta ortishi uchun necha yil kerak bo„ladi? 
Yechish: 
)
1
(
iT
P
S


formuladan
5
2
,
0
200
200
400







i
P
P
S
T
yil. 

Download 3,82 Mb.