87
Mustaqil yechish uchun misollar
Grafik usul yordamida chiziqsiz programmalashtirish masalalarini yeching.
1.
0
,
2
36
3
5
min
max
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
2.
0
,
16
2
min
max
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
3.
0
3
;
2
min
,
58
0
;
9
max
;
0
,
9
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
F
F
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
4.
169
/
1053
13
/
21
;
13
/
51
min
,
45
0
;
0
max
;
0
,
15
2
3
14
3
2
3
6
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
F
F
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
5.
0
1
;
1
min
,
5
3
;
0
max
0
;
3
max
;
0
,
0
15
3
5
15
5
3
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
F
L
F
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
Lagranjning ko`paytuvchilar usulidan foydalanib funksiyaning shartli
ekstremumlarini toping.
6.
8
/
7
max
,
4
/
1
;
2
/
5
;
2
/
1
;
0
,
2
3
2
2
*
*
2
1
2
1
3
2
3
2
3
1
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
7.
2
max
,
1
;
1
;
1
;
0
,
2
2
*
*
2
1
2
1
3
2
3
2
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opy
8.
3
/
1
min
,
3
/
11
;
3
/
1
;
3
/
8
;
0
,
2
2
4
*
*
2
1
2
1
3
2
3
2
3
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
88
9.
6
max
,
6
/
6
;
6
/
6
;
3
/
6
;
0
,
1
2
*
*
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
10.
04
,
0
min
,
25
/
4
;
25
/
3
;
0
,
1
4
3
*
*
2
1
2
1
2
2
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
11.
2
/
1
min
,
2
/
3
;
2
/
1
;
0
,
1
4
5
*
*
2
1
3
2
2
3
2
1
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
12.
121
/
249
max
,
11
/
8
;
11
/
8
;
11
/
5
;
0
,
1
2
4
3
*
*
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
13.
24
max
,
3
;
4
;
6
;
0
,
5
2
2
*
*
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
14.
20398
min
,
101
;
99
;
0
,
200
4
*
*
2
1
2
1
2
2
2
1
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
15.
3
min
,
3
;
1
;
0
,
6
3
*
*
2
1
2
1
2
1
*
X
F
X
J
x
x
x
x
x
x
X
F
opt
89
VII-bob. Qavariq programmalashtirish
Chiziqsiz programmalashtirishning faqat qavariq funksiyalar va qavariq
to„plamlar bilan ish ko„ruvchi bo„limiga qavariq programmalashtirish deyiladi. Bu
bo„limning asosiy elementlari qavariq funksiyalar va qavariq to„plamlar bo„lib,
ularning ayrim o„ziga xos xususiyatlari masala yechimini topishga imkon beradi.
7.1. Yo’nalish bo’yicha hosila va gradient
n
x
x
x
F
x
F
,
,
,
2
1
funksiyaning
l
yo„nalish bo„yicha
X
nuqtadagi hosilasi
l
F
deb ushbu limitga aytiladi.
x
F
l
x
F
l
F
0
lim
Odatda
l
yo„nalish
n
l
l
l
,
,
1
vektor orqali beriladi.
Agar
F
funksiya
X
nuqtada differensiallanuvchi bo„lsa, u holda bu funksiya
shu nuqtada har qanday
l
yo„nalish bo„yicha hosilaga ega bo„lib, u xususiy hosila
bo„yicha ushbu formula orqali ifodalanadi
i
n
i
q
x
F
l
l
l
F
1
1
(7.1)
bunda
l
l
vektorning uzunligi, ya‟ni
2
2
1
ln
l
l
yo„nalish bo„yicha hosilaning absolyut qiymati shu yo„nalish funksiya
o„zgarishning tezligini beradi, ishorasi esa funksiya o„zgarishining xarakterini
(o„sish yoki kamayish) ko„rsatadi.
n
x
x
F
x
F
,...,
1
funksiyaning gradienti
F
deb shunday vektorga aytiladiki,
uning koordinata o„qlariga proeksiyalari ushbu xususiy hosilalar bo„lib xizmat
qiladi, ya‟ni
n
x
F
x
F
x
F
F
,
,
,
2
1
l
F
maksimumga erishadi qachonki, agar
l
yo„nalish
F
yo„nalishi bilan mos
tushsa (7.1) formuladan
F
funksiyaning
F
gradient yo„nalishi bo„yicha hosilasi
quyidagiga teng
F
x
F
x
F
F
F
F
i
n
i
i
1
1
Shunday qilib, har qanday
X
nuqtada gradient yo„nalishi funksiyaning eng katta
o„sish yo„nalishini, gradient uzunligi esa bu nuqtada eng katta o„sish tezligini
ifodalaydi.
7.1-misol.
3
3
2
1
2
x
x
x
x
F
funksiyaning
2
;
1
;
0
A
nuqtada eng katta o„sish
tezligini toping va
2
;
2
;
1
l
yo„nalish bo„yicha
A
nuqtada funksiyaning o„zgarish
xarakterini aniqlang.
90
Yechish.
Ravshanki,
2
,
,
2
1
3
3
2
2
3
2
1
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
x
F
, u holda
2
;
2
1
3
2
x
x
x
x
F
va
2
;
0
;
2
/
A
F
. Shunday qilib,
A
nuqtada funksiyaning eng
katta o„sish tezligi
3
4
4
1
,
2
2
2
0
2
2
2
2
l
F
A
va
2
3
6
2
2
0
2
1
2
1
3
1
A
F
0
A
F
bo„lganligi uchun
F
funksiya
l
yo„nalish
bo„yicha
A
nuqtada o„sadi. Ma‟lumki, nuqtalar to„plami qavariq deyiladi, agar u
o„zining har qanday ikki nuqtasini tutashtirishdan hosil bo„lgan kesma
b
a
,
va
b
a
x
,
bo„lsa
1
0
,
1
b
a
X
yoki
0
,
0
,
1
,
2
1
1
1
2
1
b
a
X
(7.2)
Uning teskarisini ko„rish qiyin emas: agar (7.2) bajarilsa, u holda
b
a
x
,
.
Shunday qilib,
b
a
,
kesmani (7.2) shartli qanoatlantiruvchi barcha
x
nuqtalar
to„plami sifatida aniqlash mumkin.
(7.2) tenglikdan induksiya metodi yordami bilan, agar
M
– qavariq fazo
bo„lsa, u holda har qanday
M
x
x
x
r
,
,
,
2
1
nuqtalar uchun va har qanday
0
i
t
son
uchun
r
i
i
i
M
x
t
1
ekanligini ko„rsatish mumkin, bunda
r
i
i
t
1
1
.
n –
o„lchovli
foizning qavariq
M
to„plamida aniqlangan
n
x
x
F
x
F
,...,
1
funksiya shu to„plamda qavariq deyiladi, agar har qanday
1
;
0
son uchun ushbu
tengsizlik o„rinli bo„lsa
2
1
2
1
1
1
x
F
x
F
x
x
F
(7.3)
7.1-rasm.
Agar (7.3) shartda tengsizlik ishorasi
"
"
dan
"
"
ga o„zgarsa, u holda botiq
funksiya ta‟rifini hosil qilamiz. Agar (7.3) da tengsizlik ishorasi qat‟iy bo„lsa, u
holda funksiya qat‟iy qavariq (yoki qat‟iy botiq) deyiladi.
7.1-rasmda bir o„zgaruchili funksiyaning butun sonlar o„qida qavariq
bo„lgan funsiya grafigi tasvirlangan.
x
F
0
1
x
F
x
F
2
x
F
1
x
2
1
1
x
x
x
2
x
91
Qavariq funksiya xossalari:
1.
Agar
x
F
funksiya qavariq bo„lsa, u holda
x
F
botiq bo„ladi.
2.
с
x
F
va
b
ax
x
F
chiziqli funksiya barcha sohalarda botiq va qavariq
bo„ladi.
3.
Agar
m
i
x
F
i
,
1
,
funksiya qavariq bo„lsa, u holda barcha
0
i
sonlar
uchun
m
i
i
x
F
1
funksiya ham qavariq bo„ladi.
4.
Agar
x
F
funksiya qavariq bo„lsa, u holda har qanday
son uchun
x
F
tengsizlikning yechimlar sohasi yo qavariq yoki bo„sh to„plam bo„ladi.
5.
Agar
x
i
funksiya o„zgaruvchining barcha manfiy qiymatlarida qavariq
bo„lsa, u holda
m
i
b
x
i
i
,
1
,
tengsizliklar sistemasining yechimlar to„plami
qavariq bo„ladi (agar u bo„sh to„plam bo„lmasa).
6.
M
qavariq to„plamda aniqlangan qavariq (botiq) funksiya, bu to„plamning
barcha ichki nuqtalarida uzluksiz bo„ladi.
7.
Har qanday qavariq (botiq) funksiya hech bo„lmaganda bitta statsionar
nuqtaga ega, bunda qavariq (botiq) funksiyalar statsionar nuqtada har doim lokal
va global ekstremumga ega bo„ladi.
|
