Sh. A. Saipnazarov biznes matematika

66 
 
min
2
1





m
X
X
X
X
F

(5.3) 
A
o„yinchining 
maqsadi 
o„zining 
kafolatlangan 
yutug`ini 
maksimallashtirish, ya`ni o`yinning narxi, 

ni maksimallashtirish bo`lib, bu esa, 
1/

miqdorni minimallashtirishga ekvivalentdir. Shuning uchun 
masala 
quyidagicha qo`yi
ladi: 
0,
1, 2,
,
i
X
i
m


o„zgaruvchilarni shunday qiymatlarini 
aniqlash kerakki, bunda ular (5.2) sistemani qanoatlantirib, (20.5.3) funksiyaga 
minimal qiymat bersin. 
Hosil bo„lgan chiziqli programmalashtirish masalasining matematik 
modelini keltiramiz.
A
o`yinchining matematik modeli 
B
o`yinchining matematik modeli 
 
min
2
1





m
X
X
X
X
F

; 
11
1
21
2
1
12
1
22
2
2
1
1
2
2
1,
1,
1.
0,
1,
m
m
m
m
n
n
mn
m
i
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
a X
X
i
m

 




 



                



 




 
1
2
max
n
S Y
Y
Y
Y
   
11 1
12 2
1
21
1
22 2
2
1 1
2 2
1,
1,
1.
0,
1,
n n
n n
m
m
mn n
j
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
a Y
Y
j
n

 




 



                



 




Ko„rinib turibdiki, bu o„zaro ikkilangan juft chiziqli programmalashtirish 
masalasini ifodalaydi. Ularning yechimi mazkur o„yin masalasining yechimidir.
Bunda: 
 
 
n
j
Y
v
q
m
i
X
v
p
Y
S
X
F
v
j
j
i
i
,
1
,
;
,
1
,
;
*
1
*
1
*
*
*
*








(5.4) 
Demak, matrisali o„yin masalasini, chiziqli programmalashtirish masalasi 
usullari bilan yechish, quyidagi bosqichlardan iborat bo„ladi.
1. Berilgan juft o„yin masalasiga ekvivalent, o„zaro juft ikkilangan chiziqli 
programmalashtirish masalasini tuzish.
2. Ikkilangan masalaning optimal rejalarini aniqlash.
3. Ikkilangan masalaning optimal rejalaridan foydalanib, optimal strategiyalarni 
va o„yin narxini aniqlash (5.4).
Chekli mxn o
„
lchamli matrisali o
„
yinni, chiziqli programmalashtirish 
masalasiga keltirish uchun tavsiyalar quyidagi sxema bo`yicha bo`ladi 
1. To„lov matrisasidagi qulay bo„lmagan strategiyalar tashlab yuborilib, to„lov 
matrisasi yetarlicha soddalashtiriladi.
2. O„yinning quyi va yuqori narxlari aniqlanib, egar nuqtaning mavjudligi 
tekshiriladi. Agar egar nuqta mavjud bo„lsa, unga mos strategiyalar, optimal 
strategiyalar bo„lib, o„yinning narxi, quyi (yuqori) narx bilan mos tushadi.
3. Agar egar nuqta mavjud bo„lmasa, yechim aralash strategiyalarda topiladi. 
Agar to„lov matrisasi 2xn yoki nx2 o„lchamli bo„lsa, o„yin grafik usulda yechiladi.

67 
Agar to`lov matrisasi mxn o„lchamli bo„lsa, chiziqli programmalashtirish 
masalasiga keltirilib, simpleks usul orqali masalaning yechimi aniqlanadi.
 
Mustaqil yechish uchun misollar 
To‘lov matrisasini soddalashtiring va uning yechimini aniqlang. 
1. 
2
3
1
3
2
4
0
4
3












. 2. 
2
1
4
1
5
1
1
3
4














. 3. 
3
2
6
2
4
1
2
0
1
0
6
2
2
1
5
0

















. 5. 
6
3
5
2
1
7
9
4
4
4
0
5
3
6
4
4














. 
To‘lov matrisasidan foydalanib o‘yinning optimal strategiyasi va 
narxini aniqlang. 
6.
2
5
6
4
A


 



. 7. 
1
4
3
2
0
5
A












. 8. 
4 7
9
3
5 9
6 9
A













. 9. 
10
5
2
1 9
7
A


 



.
10. 
2 3 1 4
3 2
4 1
A


 



. 11. 
4
2
2
2
5
0
0
2
5










. 12. 
4
2
1
0
1
2
3
2
0











.
13. 
4
9
5
3
7
8
6
9
7
4
2
6
8
3
4
7












. 14. 
1
2
1 5
2
3
2
5
0
2
1
3
2
3
2
3













. 
 
To‘lov matrisasidan foydalanib, o‘yinning optimal strategiyasi va 
narxini grafik usulda toping. 
15. 
2
2
1
1








. 16. 
2
3
1
2






. 17. 
4
2
1
3







. 18. 
1 6
1
1







. 19. 
2
5
6
4






. 20. 
1
3
6
2






.
21. 
3
2
1
4







. 22.
1
4
5
0






. 23.
4
7
9
3






. 24. 
4
7
5
9






. 25.
6
9
4
7






.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

68 
VI-bob. Chiziqsiz programmalashtirish 
6.1. Chiziqsiz programmalashtirish masalasining qo’yilishi va turlari 
 
Ko„pgina iqtisodiy vaziyatlar chiziqli modellar bilan ifodalanmaydi. 
Hayotda chiziqli modellar kam uchraydi.
 
Masalan, 
x
birlik tovarni 
p
narxdan 
sotib 
px
daromadni hosil qilar edik. Daromadning narxga to„g„ri proporsional 
ekanligi kelib chiqadi. Lekin hayotda narx talabga bog„liq ravishda o„zgarib, ularni 
sotish hajmi talab va tovar narxiga bog„liq bo`ladi. Sotish hajmi narxga bog„liq 
bo`lgan 
 
f p
funksiyadan iborat bo„lsa, u holda daromad 
 
p f p

ga teng bo„lib, bu 
esa 
p
o„zgaruvchiga nisbatan chiziqsiz funksiyadan iborat bo„ladi.
Iqtisodiyotda korxona faoliyati natijalarining o„sishi yoki kamayishi, 
resurslarning 
o„zgarishiga proporsional ravishda o„zgarmaydi, masalan, 
tovarlarning ko„pligidan talabning kamayishi, buning asosida esa, har bir tovarning 
sotilishi avvalgisidan ham mushkullashib boradi.
Iqtisodiyot masalalari ko„p faktorlarga asoslangani uchun, ularning o„zgarish 
qonuniyatlari chiziqsiz modellarga olib keladi. Shuning uchun chiziqsiz modellarni 
yechish zaruriyati kelib chiqadi.
Chiziqsiz programmalashtirish
– matematik programmalashtirishning bir 
bo`limi bo„lib, masalalarning ekstremal qiymatini aniqlashning nazariyasi va 
yechish usullaridan iborat hamda, maqsad funksiya yoki chegaraviy shartlar (yoki 
ikkalasi ham birgalikda) izlanayotgan miqdorning chiziqsiz ekanligiga asoslanadi. 
Chiziqsiz programmalashtirishning umumiy matematik modeli: shunday 


1
2
,
, ...,
n
x
x x
x

vektorni topish kerakki, u quyidagi chegaraviy shartlarni 
qanoatlantirib 






1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
,
, ...,
,
1,
;
,
, ...,
,
1,
;
,
, ...,
,
1,
,
i
n
i
i
n
i
i
n
i
g x x
x
b
i
m
g x x
x
b
i
m
m
g x x
x
b
i
m
m








maqsad funksiyasiga
  

,
,...,
,
2
1
n
x
x
x
f
X
F

ekstremum qiymat bersin. Bunda 
,
1,
j
x
j
n

o„zgaruvchilar; 
,
,
1,
i
L f g i
m

- berilgan funksiyalar; 
i
b
- fiksirlangan qiymatlar.
Chiziqsiz programmalashtirishning, chiziqli programmalashtirishdan farqi 
shundaki, bunda yagona yechish usuli mavjud emas. Maqsad funksiyaning va 
chegaraviy shartlarga asoslanib maxsus yechish usullari ishlab chiqilgan. Bularga, 
Lagranjning ko„paytuvchilar usuli, kvadratik va qavariq programmalashtirish, 
gradientlar usuli, taqribiy yechish usuli, grafik usullar mavjud.
Chiziqsiz programmalashtirishda maqsad funksiyaning global maksimum 
yoki minimumini aniqlash talab etiladi. Funksiyaning 
global maksimumi
(
minimumi
), bu uning lokal maksimumlari orasidan eng kattasi (eng kichigi), yoki 
yopiq soha chegarasidagi funksiyaning maksimum (minimum) qiymatidan iborat.

69 
Ta`rif. S 
to„plamda aniqlangan
 
 
f x
funksiyaning, 
0
x
S

nuqtada global 
minimumga ega bo`lishi uchun, quyidagi tengsizlikning 
 
 
0
f x
f x

,
x
S

, 
bajarilishi zarur va yetarli. 

Download 3,82 Mb.