Lagranj ko’paytuvchilari usuli




Download 3,82 Mb.
Pdf ko'rish
bet30/73
Sana11.07.2024
Hajmi3,82 Mb.
#267361
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   73
Bog'liq
Biznes matematika

 
6.3. Lagranj ko’paytuvchilari usuli 
 
n
o

zgaruvchili funksiyalar uchun Lagranjning ko

paytuvchilar usuli

Aytaylik 
n
o„zgaruvchili 


1
2
,
, ...,
n
z
f x x
x

funksiya va 
m
ta chegaraviy shartlar 
berilgan bo„lsin
 








1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
,
, ...,
,
, ...,
0,
,
, ...,
0,
.............................
,
, ...,
0.
n
n
n
m
n
z
f x x
x
x x
x
x x
x
x x
x














.
 
Lagranj funksiyani tuzamiz
 


80 


1
2
1
2
1 1
2
2
,
, ...,
, ,
, ...,
...
n
m
m
m
F x x
x
f
 

  
 
 

 
.
 
Lagranj funksiyasining barcha noma`lumlari bo„yicha xususiy hosila olib 
ularni nolga tenglashtirib, stasionar nuqtalarni aniqlaymiz
 




0,
1,
0,
1,
i
j
F
i
n
x
j
m







 


.
 
Yuqoridagi kabi to„la differensial 
2
d F
ning ishorasini aniqlaymiz. Agar 
aniqlangan stasionar nuqtada 
2
0
d F

shart bajarilsa, bu nuqta shartli maksimum, 
aksincha esa, ya`ni
2
0
d F

bo`lsa, shartli minimum bo„ladi. Buni boshqacha 
usulda, ya`ni quyidagi matrisadan foydalanib ham aniqlashimiz mumkin. 
1
1
1
1
1
2
3
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
0
0
...
0
...
0
0
...
0
...
................................................................................................
0
0
...
0
...
n
n
m
m
m
m
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A







































1
2
3
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
3
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
3
3
3
3
1
3
2
3
...
...
...
...
...
...
.............................
m
n
m
n
m
n
F
F
F
F
x
x
x
x
x x
x x
x x
F
F
F
F
x
x
x
x x
x
x x
x x
F
F
F
F
x
x
x
x x
x x
x
x x


















 
 
 










 

 
 










 
 

 
2
2
2
2
1
2
2
1
2
3
.....................................................................
...
...
n
m
n
n
n
n
n
n
F
F
F
F
x
x
x
x x
x x
x x
x













 
 
 

A matrisadagi 
 


81 
 
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
3
1
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
3
1
3
2
3
2
2
2
1
2
...
...
...
..............................................................
n
n
n
n
n
n
F
F
F
F
x
x x
x x
x x
F
F
F
F
x x
x
x x
x x
F
F
F
F
H X
x x
x x
x
x x
F
F
F
x x
x x
x





 
 
 




 

 
 





 
 

 



 
 

2
2
3
...
n
F
x
x



matrisa, Gesse matrisasidir.
 
Quyidagi qoidani kiritamiz:
 
-
Agar 
A
matrisaning burchak minorlari 
2
1
2
2
,
,...,
m
m
m n
H
H
H



ishoralari 
 
1
m

ning ishoralari bilan mos bo„lsa, u holda bu stasionar nuqta 


1
2
,
, ...,
n
z
f x x
x

funksiyaning minimum nuqtasi bo„ladi.
 
-
Agar 
A
matrisaning burchak minorlari 
2
1
2
2
,
,...,
m
m
m n
H
H
H



ishoralari 
almashinib tursa va 
2
1
m
H

minorning ishorasi 
 
1
1
m


ning ishoralari bilan mos 
tushsa, u holda bu stasionar nuqta 


1
2
,
, ...,
n
z
f x x
x

funksiyaning maksimum 
nuqtasi bo„ladi.
 
 
Misol.
Funksiya shartli ekstremum nuqtasini toping
 
3
L x
x
y
 
chegaraviy shartda: 
2
2
10
x
y


Yechish
. Lagranj funksiyasi tuziladi 




2
2
, ,
3
10
F x y
x
y
x
y


 



.
Lagranj funksiyasining xususiy hosilalarini aniqlaymiz 
1
2
2
2
2
2
1
1 2
0,
,
2
1
3
2
3 2
0,
,
1
2
2
1
3
10
0.
10
0.
2
2
F
x
x
x
F
y
y
y
F
x
y











 

 

 









 


 







  














 














1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
3
1
;
1;
3
2
2
2
2
1
1
1
3
;
1;
3
2
2
2
2
x
y
x
y










 
 

 

 










 
 
 
 




Demak, sistema ikkita yechimga ega ekan 


82 
 


1
1
2
2
1
,
1, 3
2
1
,
1,
3 .
2
M
M


  


 
 

Bu nuqtalarning har birida Gesse matrisasini hisoblaymiz. 




2
2
2
2
10
2 ,
10
2 .
x
y
x
y
x
x
x
y
y
y









 
















2
2
2
2
2
1 2
2 ,
3 2
2 ,
1 2
0.
x
y
y
F
x
x
F
y
y
F
x
x y







 







 

 

 

 


 

1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
0
0
2
2
2
2
0
2
0
2
x
x
x
y
F
F
A
x
x
x
x x
y
F
F
x
x x
x

















 




 


 
1
1, 3
M
nuqtada
0
2
2
0
1
3
2
2
0
8 1
1/ 2
0
40
0
2
0
2
3
0
1/ 2
x
y
A
x
y



 





Demak, 
 
1
1, 3
M
nuqtada 
 
1
2
3
L x
x
x
 
funksiya shartli minimumga ega 
ekan
 
min
1 3 3 10
L x
   

Shu kabi 


2
1,
3
M
 
nuqtada quyidagini aniqlaymiz 
0
2
2
0
1
3
2
2
0
8
1 1/ 2
0
40
0
2
0
2
3
0
1/ 2
x
y
A
x
y





  
  


Demak, 


2
1,
3
M
 
nuqtada 
 
1
2
3
L x
x
x
 
funksiya shartli minimumga ega 
bo„lar ekan
 
 
min
1 3
3
10
L x
      

Misol. 
Funksiya shartli ekstremum nuqtasini toping
 


2
2
2
1
2
3
min max
L x
x
x
x




chegaraviy shartlarda: 


83 
1
2
3
1
2
4
2
3
12
x
x
x
x
x
  





Yechish
. Lagranj funksiyasi tuziladi 




2
2
2
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
4
2
3
12
F
x
x
x
x
x
x
x
x






   


Lagranj funksiyasi 
F
dan 
1
2
3
,
,
x x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va 
1
2
,
 
parametrlar bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi 
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi: 
1
1
2
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
3
1
1
2
2
2
2
0
2
3
0
2
0
4
0
2
3
12
0
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x









 



 

 



 


 


 
 
  



 







 
Bundan 


 
1
2
3
72
28 32
,
,
,
,
, min
19,37
19
19 19
x x x
L x









.
 
Misol.
Funksiya shartli ekstremum nuqtasini toping
 
1 2
2 3
L x
x x
x x


chegaraviy shartlarda: 
1
2
2
3
2
2
4.
x
x
x
x



  

Yechish
. I-
usul
. Lagranj funksiyasi tuziladi 






1
2
3
1
2
1 2
2 3
1
1
2
2
2
3
,
, , ,
2
2
4
F x x x
x x
x x
x
x
x
x
 





  


Lagranj funksiyasi 
F
dan 
1
2
3
,
,
x x
x
noma`lum o„zgaruvchilar va 
1
2
,
 
parametrlar bo„yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi 
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi: 


84 
2
1
1
1
3
1
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
1
0
0
2
0
2
0
2
4
0
F
x
x
F
x
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x

 









 
   



 






 
   



 


 



Bundan 

 

 
1
2
3
,
,
2,
4, 4 , min
8
х x x
L x
  
 
.
 
II-
usul
. Noma`lumlarni ketma-ket yo„qotish usuli. Buning uchun chegaraviy 
shartdagi ikkita tenglamadan birini yo„qotib, bitta tenglamadan iborat chegaraviy 
shart tuzamiz. Chegaraviy shartdagi birinchi tenglamadan 
2
x
noma`lumni topib, 
ikkinchi tenglamaga va maqsad funksiyasiga qo„yib, quyidagi chiziqli 
programmalashtirish masalasini hosil qilamiz 
 
 
 

 



 
1
2
1 2
2 3
1
1
1
3
1 3
1
3
2
1
2
1
2
1
2
3
1
3
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
4.
2
6.
2
2
4.
L x
x x
x x
L x
x x
x
x
L x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x






 











 

 

 










 







Lagranj funksiyasini tuzamiz 




1
2
1
3
1 3
1
3
1
3
, ,
2
2
2
6
F x x
x
x x
x
x
x
x









Lagranj funksiyasi 
F
dan 
1
3
,
x
x
o„zgaruvchilar va 

parametr bo„yicha 
xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglashtirib, quyidagi tenglamalar sistemasi 
hosil qilinadi: 
1
3
1
1
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
2
2
0
2
2
0
2
2 2
0
2 2
0
2
2
6
0
4.
2
6
0
F
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x









   


   







  


 


 








 




 
 



Bundan 


2, 4
M

stasionar nuqtani aniqlaymiz. Bu nuqtani ekstremumga 
tekshiramiz. Buning uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilani aniqlaymiz
 






1
3
3
2
1
3
2
1
2
1
2
3
2
1
3
1
3
2
2
2,
2 2
0,
2
2
1.
x
x
x
F
x
x
x
F
x
x
F
x
x
x x






  

 





 




 



  

 

 


85 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
2
2
1
3
1
3
2
2
0
2
2
2
F
F
F
d F
dx
dx
dx dx
dx
dx
dx dx
dx
dx dx
x
x
x x









 
 
 
 



 

Endi 
2
d F
ning ishorasini aniqlash uchun stasionar nuqtalarning xossasidan 
foydalanamiz, 
1
3
2
6
x
x

 

belgilash olib 




1
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
3
1
3
2
6
2
6
2
0
x
x
d
dx
dx
x
x
dx
x
x
dx
dx
dx
x
x




















.
Demak, 
1
3
2
dx
dx
 
, bundan esa 
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
0
2
dx
d F
dx
dx
dx
dx
dx



 
 








.
Demak, stasionar 


2, 4
M

nuqta maqsad funksiyasining minimum nuqtasi 
bo„lar ekan 
 
   
 
1
2
2
1 3
1
3
min
2
2
2
2 4 2
2
2 4
8
L x
x
x x
x
x




 
        

Bu optimal yechimlardan foydalanib, boshlang„ich masalaning yechimini 
aniqlaymiz. Bundan esa berilgan masalaning ekstremal qiymati quyidagicha 
bo`ladi 
 
 
   

 

 
1 2
2 3
1
2
3
2
1
2
2
3
,
,
2, 4, 4
2
4
4 4
2
min
8
2 2.
2
4.
L x
x x
x x
x x x
L x
x
x
L x
x
x
x





  

      



 





 
  








III usul. Endi masalaning optimal yechimini tuzilgan matrisaning burchak 
minorlaridan foydalanib aniqlaymiz. Buning uchun, quyidagi xususiy hosilalarni 
aniqlaymiz
 






1
2
3
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
3
2
1,
2
1
2
0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x






 

 

 


 
 






 










1
2
3
2
2
3
1
2
2
3
2
2
2
3
3
2
4
0,
2
4
1
2
4
2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x









 

 





























1
2
2
3
2
3
3
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
3
1
2
1
3
1
2
2
1
2
2
1
3
2
2
2
1
3
1
2
2
2
2
3
2
3
0
1
0
0
0
0
2
0.
1.
2
0.
x
x
x
x
x
x
F
F
F
x
x
x
x
x x
x
F
F
F
x
x
x
x
x
x
x
x x
F
F
F
x
x
x
x
x
x x
x



 
 


 
















 



 






 





   


  









 















  





 










86 
1
2
3
1
1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
3
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2
2
3
3
3
1
3
2
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
2
1
0
0
1
0
1 1
1
0
1
0
2
0
1
0
x
x
x
x
x
x
F
F
F
A
x
x
x
x x
x x
F
F
F
x
x
x x
x
x x
F
F
F
x
x
x x
x x
x











































 
 
















 

 







 
 

A
matrisaning 
burchak 
minorlarining 
2
1
2
2
,
,...,
m
m
m n
H
H
H



ishoralarini 
aniqlashimiz kerak. Bunda 
m
parametr masalaning chegaraviy shartlar soni, 
n
parametr esa noma`lumlar soni. Bu masalada ikkita chegaraviy shart va uchta 
noma`lum qatnashmoqda, shuning uchun 
2,
3
m
n



2
1
5,
5
m
n
m
 
 
bo„lgani 
uchun, bunda faqat 
5
H
minor qaraladi. 
 
A
matrisa 5-tartibli bo„lgani uchun 
5
H
minor bu matrisa bilan ustma –ust 
tushadi. 
5
H
minorning tartibini pasaytirish orqali uning ishorasini aniqlaymiz.
 
 
4 2
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1 1
1
0
1
1 1
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
2
1
2
0
1
1
0
0
0
1
2
1
2
1
1
4
0
1
0
1
0
3
2
2
2
1
2
H











  

 




Ta`rifga asosan 
   
2
1
1
1
m

 

bo„lgani uchun, 
2
1
m
H

ning ishorasi
 
1
m

ning ishorasi bilan mos tushadi. Bundan kelib chiqib, topilgan stasionar 

 

1
2
3
,
,
2,
4, 4
х x x
  
nuqta, berilgan funksiyaning minimal nuqtasi bo„lar ekan 
 
min
8
L x
 
.

Download 3,82 Mb.
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   73




Download 3,82 Mb.
Pdf ko'rish