• To‘lov matrisasini soddalashtirish.
  • Grafik usul.
  • O‘lchovi  2 2   bo`lgan o`yin




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish
    bet23/73
    Sana11.07.2024
    Hajmi3,82 Mb.
    #267361
    1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   73
    Bog'liq
    Biznes matematika

    O‘lchovi 
    2 2

     bo`lgan o`yin
    . Bu o`yin chekli o`yinning sodda holidir. Agar 
    bu o`yin egar nuqtaga ega bo`lsa, u holda optimal yechim, bu nuqtaga mos bo`lgan 
    strategiyalar, sof juft strategiyalardir.
    Neyman teoremasini qanoatlantiradigan, egar nuqtasi mavjud bo`lmagan, 
    o`yinning optimal yechimi mavjud va u, aralash strategiyalar jufti 


    1
    2
    ,
    P
    p p







    1
    2
    ,
    Q
    q q




    bilan aniqlanadi.
    A
    o`yinchining yutishi (
    B
    o`yinchining yutqazishi) – tasodifiy miqdor 
    bo`lib, matematik kutilishi o`yinning narxi bo`ladi. Shuning uchun 
    A
    o`yinchi 
    optimal strategiyani qo`llaganda, uning o`rtacha yutug`i 

    : birinchi o`yinchiga 
    ham, ikkinchi o`yinchiga ham tegishli bo`ladi.
    Masalan, to`lov matrisasi bilan berilgan bo`lsin:
    11
    12
    21
    22
    a
    a
    A
    a
    a


     



    Agar 
    B
    o`yinchi, 
    1
    B
    sof strategiyada (to`lov matrisaning birinchi ustuni) 
    bo`lib, 
    A
    o`yinchi esa 


    1
    2
    ,
    P
    p p




    optimal aralash strategiyani qo`llaganda, uning 
    o`rtacha yutug`i 

    ga teng, ya`ni
    11
    1
    21
    2
    a p
    a p





    .
    Shu kabi, qarshi tomon 
    2
    B
    strategiyani qo`llasa, 
    A
    o`yinchining o`rtacha 
    yutug`i 
    12
    1
    22
    2
    a p
    a p





    ga teng bo`ladi.
    1
    2
    1
    p
    p




    ni hisobga olsak, quyidagi 
    tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
    11
    1
    21
    2
    12
    1
    22
    2
    1
    2
    1
    a p
    a p
    a p
    a p
    p
    p











    






    
    (5.5) 
    (20.3.1) sistemani yechib, 
    P

    optimal strategiyani va o`yin narxi 

    ni aniqlash 
    mumkin.
    B
    o`yinchining optimal strategiyasini aniqlash uchun, yuqoridagi kabi
    tenglamalar sistemasi tuziladi:
    11 1
    12
    2
    21 1
    22
    2
    1
    2
    1
    a q
    a q
    a q
    a q
    q
    q











    






    
    (5.6) 
    Agar 
    A
    o`yinchi 


    1
    2
    ,
    ,...,

    m
    P
    p p
    p
    aralash strategiyani, 
    B
    o`yinchi esa 


    1
    2
    ,
    ,...,

    n
    Q
    q q
    q
    aralash strategiyani qo`llasa, 
    A
    va 
    B
    o`yinchilarning o`rtacha 
    yutug`i (matematik kutilishi) quyidagicha aniqlanadi
    1
    1
    m
    n
    ij
    i
    j
    i
    j
    a p q


    

    Optimal strategiyani qo`llash o`yin narxiga teng bo`lgan yutuqga, ega 
    bo`lishga imkon beradi: 
      
     



    58 
    To‘lov matrisasini soddalashtirish.
    Agar to`lov matrisasining o`lchami 
    qancha katta bo`lib, egar nuqtasi bo`lmasa, u holda masalaning aralash optimal 
    strategilarini aniqlash shuncha qiyinlashadi. Shuning uchun o`lchami katta to`lov 
    matrisasini, 
    qulay 
    bo`lmagan 
    strategiyalarni 
    tashlab 
    yuborish 
    orqali 
    soddalashtiriladi.
    Agar 
    A
    o`yinchining, 
     
    ij
    m n
    a

    matrisali o`yindagi 
    i
    A
    strategiyasiga mos
    i
    – 
    satri elementlari, boshqa satrning mos elementlaridan katta bo`lmasa (kichik yoki 
    teng), u holda
    i
    A
    ning 
    i
    – strategiyasi 
    qulay bo`lmagan
    strategiya
    deyiladi va bu 
    satr to`lov matrisasidan chiqarib tashlanadi. 
    Agar 
    B
    o`yinchining, 
     
    ij
    m n
    a

    matrisali o`yinning biror 
    j
    B
    strategiyasiga mos 

    – ustun elementlari, boshqa ustunning mos elementlaridan kichik bo`lmasa (katta 
    yoki teng), u holda
    j
    B
    ning 
    j
    – strategiyasi 
    qulay bo`lmagan strategiya
    deyiladi va 
    bu ustun to`lov matrisasidan chiqarib tashlanadi..
    Misol. Ushbu to`lov matrisasini soddalashtiring: 
     
    B

    B

    B

    V

    V
    5
    α
    i
     
    A







    A
    2
     






    A
    3
     






    A
    4
     






    β






    ;
    3
    }
    1
    ;
    3
    ;
    2
    ;
    1
    max{



    .
    5
    }
    5
    ,
    5
    ,
    6
    ,
    7
    ,
    8
    min{



    α = 3 ≠ β = 5. Demak, to`lov matrisasi egar nuqtaga ega emas. 
    Ikkinchi va uchinchi satr elementlarini mos ravishda taqqoslaganimizda, 
    ikkinchi satr elementlarining barchasi mos ravishda, uchinchi satrning mos 
    elementlaridan kichik. Demak, 
    A
    o`yinchining ikkinchi strategiyasi qulay 
    bo`lmagan strategiya bo`lib, uni tashlab yuborsak bo`ladi. Shu kabi, 
    A
    3
    va 
    A

    ni 
    taqqoslab,
    A
    4
    ni tashlab yuborib, quyidagi o`yin matrisasini hosil qilamiz: 
     
    B

    B

    B

    V

    V
    5
     
    A






    A
    3
     





    E`tibor bersak, 
    V
    o`yinchining 1, 2, 3 strategiyalari 5 – strategiyaga nisbatan 
    qulay bo`lmagan strategiyalardir, chunki 
    V
    o`yinchi, 
    A
    o`yinchining yutuqlarini 
    minimallashtiradi. Bu strategiyalarni tashlab yuborsak 2×2 o`lchamli matrisa hosil 
    qilamiz, bunda qulay bo`lmagan strategiyalar mavjud emas.
     
    V

    V
    5
     
    A



    A
    3
     


    To`lov matrisasidagi strategiyalarni belgilab chiqamiz: 


    59 
     
    V

    V
    2
     
    α
    i
     
    A




    A
    2
     



    β
    j
     


    α
    = 3, 
    β
    = 5. 
    Agar soddalashtirilgan matrisada 
    α=β 
    bo`lsa, u holda soddalashtirilgan 
    matrisadagi 
    α = β = v
    narx, berilgan matrisaga ham tegishlidir. Agar 
    α < β 
    bo`lsa, 
    soddalashtirilgan matrisa analiz qilinadi va olingan natija, berilgan matrisaga ham 
    tegishli bo`ladi.
    Misol.
    To`lov matrisasining egar nuqtasini toping 









    Yechish
    . To`lov matrisaning egar nuqtasi mavjudligini tekshiramiz. I – 
    o`yinchi maksimal yutuq olish uchun, o`z strategiyalarini tanlaydi, II – o`yinchi 
    esa, I – o`yinchi yutuqlarini minimallashtirish uchun, o`z strategilarni tanlaydi.
    O`yinchilar 
    B
    1
    B
    2
    B
    3
    A
    1



    A
    2



    A
    3



    A
    o„yinchining, 
    A

    maksimal sof strategiyasiga mos bo„lgan, kafolatlangan 
    yutuqni, ya`ni o„yinning 


    max 2, 2, 1 =2
    i


    quyi 
    narxini 
    aniqlaymiz.
    O„yinning yuqori narxi esa 


    min 7, 7, 8
    7
    j



    dan iborat. Bundan 
     

    ekanligidan, o„yinning egar nuqtasi mavjud emasligi va o„yin narxi 
    2
    7

     
    oraliqda o„zgarishi kelib chiqadi. O„yin yechimini aralash
    strategiyalarda topamiz. 
    Buning sababi, o„yinchilar o„zlarining sof strategiyalarini qarshi tomondan sir 
    tutishidadir.
    2. To„lov matrisani soddalashtiramiz. Matrisaning qulay bo„lmagan satri va 
    ustuni mavjud emas. 
    3. Aralash strategiyalarda o„yinning yechimini topamiz. 
    Tenglamalar sistemasini yozamiz.
    I – o„yinchi uchun II – o„yinchi uchun
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    4p
    7p
    2p
    7p
    3p
    p
    2p
    2p
    8p
    p
    p
    p
    1

















       

    1
    2
    3
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    4q
    7q
    2q
    7q
    3q
    2q
    2q
    q
    8q
    q
    q
    q
    1

















       

    Bu sistemani Gauss usuli bilan yechib, quyidagilarni topamiz:


    60 
    29
    1
    68
    p
    /

    (1 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    4
    2
    17
    p
    /

    (2 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    23
    3
    68
    p
    /

    (3 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    I - 
    o`yinchining optimal aralash strategiyasi:


    29
    4
    23
    68
    17
    68

    / ; / ; /

    6
    1
    17
    q
    /

    (1 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    9
    2
    34
    q
    /

    (2 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    13
    3
    34
    q
    /

    (3 – strategiyani qo„llash ehtimoli).
    II - 
    o„yinchining optimal aralash strategiyasi:


    6
    9
    13
    17
    34
    34

    / ; / ; /

    .
    O„yinning narxi: 
    1
    34
    4 /



    Grafik usul. 
    2x2
    o„lchamli o„yinning geometrik yechimini, tekislikda 
    yaqqol tasvirlash mumkin. Bunday o„lchamdagi o„yinlarni grafik usulda yechish 
    mumkin.
    2x2
    o„lchamli o„yinni grafik usulda yechish, umumiy holda, quyidagilardan 
    iborat.
    1. Birinchi (ikkinchi) o„yinchining mos strategiyalari uchun, to„g„ri chiziqlar 
    quriladi.
    2. Kesishish nuqtasining koordinatalari aniqlanadi, ya`ni bunda birinchi 
    (ikkinchi) o„yinchining optimal strategiyalari va o„yin narxi aniqlanadi.
    3. Boshqa o„yinchining optimal strategiyasi, uning faol strategiyalaridan 
    tashkil topgan tenglamalar sistemasini yechish orqali aniqlanadi.

    Download 3,82 Mb.
    1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   73




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish