• 5.2. Aralash strategiyadagi o’yinning yechimi
  • Sh. A. Saipnazarov biznes matematika




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish
    bet22/73
    Sana11.07.2024
    Hajmi3,82 Mb.
    #267361
    1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   73
    Bog'liq
    Biznes matematika

    Yechish
    .
    To`lov matrisasining egar nuqtasini aniqlaymiz. Buning uchun 
    o`yinning quyi va yuqori chegaralarini aniqlaymiz. 


    max min
    max 0, 5
    5
    ij
    j
    i
    i





    dan ko`rinadiki, 
    2
    A
    maksimal sof strategiya ekan. 


    min max
    min 8, 8, 5, 10
    5
    ij
    j
    j
    i
    a




    dan ko`rinadiki
    3
    B
    minimal sof strategiya ekan. O`yinning egar nuqtasi 


    2
    3
    ,
    A B
    iborat bo`lib, unig narxi 
    5


    ekan.
    5.2. Aralash strategiyadagi o’yinning yechimi 
     
    Agar o`yin matrisasida, 
     

    bajarilsa egar nuqta mavjud emas. Bunday 
    holda, sof strategiyalarda optimal yechim mavjud bo`lmaydi. Lekin, sof 
    strategiyalarni, aralash strategiyalar bilan kengaytirsak, aniqmas o`yin 
    masalalarining ham optimal yechimini aniqlash algoritmini topish mumkin.
    Bunday hollarda, antagonistik o`yinlarning optimal yechimini topish uchun
    statistik (ehtimollarga asoslangan) usullarni qo`llash tavsiya etiladi. Bunda, har bir 
    o`yinchining, mumkin bo`lgan strategiyalar to`plami bilan birga, noma`lum 
    bo`lgan ehtimollik vektorlari (nisbiy chastotalar) orasidagi munosabat kiritiladi. 
    A
    o`yinchining berilgan strategiyalarini, tanlash ehtimollik vektorlari (nisbiy 
    chastotalar) quyidagicha belgilanadi:


    1
    2
    ,
    ,...,
    m
    P
    p
    p
    p

    , bunda
    1
    1,
    0,
    1,
    m
    i
    i
    i
    p
    p
    i
    m








    56 
    i
    p
    miqdor, 
    i
    A
    strategiyani qo`llash 
    ehtimoli
    (
    nisbiy chastota
    ) deyiladi. 
    A
    o`yinchining, 
    A
    S
    aralash strategiyasi deb
    1
    2
    ,
    ,
    ,
    m
    A A
    A
    sof strategiyalarni 


    1
    2
    ,
    ,
    ,
    m
    P
    p p
    p

    ehtimollar bilan tadbiq etishga aytiladi, bunda 
    1
    1
    m
    i
    i
    p



    .
    A
    o`yinchining aralash strategiyasi ushbu matrisa ko`rinishda yoziladi. 
    1
    2
    1
    2
    i
    m
    A
    i
    m
    A
    A
    A
    A
    S
    p
    p
    p
    p


     



    yoki


    1
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    A
    i
    m
    S
    p
    p
    p
    p

    ko`rinishda yozish ham mumkin. 
    Shu kabi, 
    B
    o`yinchining, noma`lum ehtimollik vektorlari (nisbiy 
    chastotalar) quyidagicha belgilanadi:


    1
    2
    ,
    ,...,
    n
    Q
    q q
    q

    , bunda
    1
    1,
    0,
    1,
    n
    j
    j
    j
    q
    q
    j
    n






    j
    q
    miqdor, 
    j
    B
    strategiyani qo`llash 
    ehtimoli
    (
    nisbiy chastota
    ) deyiladi. 
    Shunga o`xshash 
    B
    o`yinchi uchun aralash strategiya quyidagicha yoziladi: 
    1
    2
    1
    2
    j
    n
    B
    j
    n
    B
    B
    B
    B
    S
    q
    q
    q
    q


     



    , yoki
    1
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    B
    j
    n
    S
    q
    q
    q
    q


     

    ,
    1
    1
    n
    j
    j
    q



    1
    2
    ,
    ,...,
    m
    A A
    A
    va 
    1
    2
    ,
    ,...,
    n
    B B
    B
    sof 
    strategiyalar 
    to`plami, 
    mos 
    ravishda


    1
    2
    ,
    ,
    ,
    m
    P
    p p
    p

    va 


    1
    2
    ,
    ,...,
    n
    Q
    q q
    q

    ehtimollik vektorlari bilan birgalikda,
     
    aralash strategiyalar 
    deyiladi.

    Sof strategiyalar, aralash strategiyalarning xususiy holi bo`lib, vektor 
    ehtimolning birga teng bo`lishidan, sof strategiyalar kelib chiqadi.
    Ixtiyoriy matrisali o`yinning optimal strategiyasi va o`yin narxini, aralash 
    strategiyalarda topish mumkin.
     
    Teorema
    . Aralash strategiyalarda, ixtiyoriy chekli matrisali o`yin egar 
    nuqtaga ega.
    Aralash strategiyalarda o`yinning optimal yechimi - 


    ,
    P Q


    juft optimal 
    strategiyalar bo`lib, u quyidagiga asoslanadi: agar bir o`yinchi o`zining optimal 
    strategiyasida muqim tursa, ikkinchisining o`z optimal strategiyasidan chetlanishi, 
    unga zararli bo`ladi. Optimal yechimga mos bo`lgan yutuq, o`yinning 

    narxi
    deyiladi. O`yinning narxi ushbu shartni qanoatlantiradi: 
      
     
    .
    O`yinlar nazariyasining quyidagi asosiy teoremasi o`rinlidir.
    Teorema (Neyman teoremasi)
    . Har qanday nol yig`indili chekli o`yin, 
    aralash strategiyalarda yechimga ega.


    1
    2
    ,
    ,...,
    m
    P
    p p
    p





    va 


    1
    2
    ,
    ,...,
    n
    Q
    q q
    q





    - optimal juft strategiyalar bo`lsin. 
    Agar sof strategiya, aralash strategiyaning optimal yechimida, noldan farqli 
    ehtimollik bilan qatnashsa, u 
    aktiv
    strategiya deyiladi.
    Teorema 
    (
    Aktiv strategiya to`g`risida
    ). Agar o`yinchilardan biri aktiv 
    strategiyalar chegarasidan chiqmasa va, boshqa o`yinchi o`zining optimal aralash 
    strategiyasida qolsa, u holda yutuq o`zgarmas bo`lib, o`yin narxi 

    ga teng bo`ladi.
    Bu teorema katta amaliy ahamiyatga ega, chunki agar egar nuqta mavjud 
    bo`lmasa, u optimal strategiyalarni topishning aniq modelini beradi.


    57 

    Download 3,82 Mb.
    1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   ...   73




    Download 3,82 Mb.
    Pdf ko'rish